수학적 형식론

Clifford 게이트 집합에 대한 Pauli 노이즈를 학습하는 과제에서 흔히 쓰는 분석 기법은, 개별 Pauli 연산자가 일련의 게이트 적용을 거치며 어떻게 변환되는지 추적하는 것입니다(게이트가 Clifford이고 노이즈가 Pauli 채널이라고 가정하면, 하나의 Pauli는 항상 노이즈의 함수인 스칼라 배를 제외하고 다른 하나의 Pauli로 사상됩니다). 물론 이러한 시퀀스에서 임의의 상태의 진화는 그러한 궤적들의 선형 결합으로 표현할 수 있습니다. 그러나 상태를 항상 Pauli 고유 상태로 준비하고, 항상 측정 결과를 후처리하여 Pauli 연산자의 기댓값을 계산한다고 가정하면, 기댓값과 노이즈 모델 매개변수 사이의 관계는 언제나 그러한 궤적 하나에만 의존합니다. 이는 초기 상태가 Pauli 연산자들의 선형 결합이고, 각 게이트와 노이즈 모델이 Pauli를 Pauli로 사상하며 그 직교성을 보존하고, 최종 기댓값이 측정 이전의 최종 분해에서 Pauli 중 하나만 "선택"한다는 단순한 사실에서 비롯됩니다.

이러한 유형의 추론은 노이즈 학습의 여러 병렬적인 연구 흐름에서 나타납니다. Pauli 게이트 집합 학습 문헌 [1, 2], ACES 문헌 [3], 사이클 벤치마킹 문헌 [4]에서 볼 수 있습니다. 이 추론은 [5]에서 Clifford-MCM 게이트(Clifford 게이트 뒤에 사영 회로 중간 측정이 이어지는 게이트)를 포함하도록 더욱 일반화되었습니다. 이 패키지는 [1, 5]를 가장 가깝게 따릅니다. 명시적으로 이름을 붙이지는 않지만, 학습 회로를 거치며 Pauli 연산자가 어떻게 진화하는지 설명하기 위해 패턴 전달 그래프(Pattern Transfer Graph, PTG) 형식론을 채택하며, 그래프를 통과하는 경로를 직접적인 데이터 표현으로 제공합니다.

다음은 문헌에서 가져온 핵심 수학 개념의 검토입니다. 주로 표기법을 정리하고 패키지의 나머지 부분에 대한 개념적 문서 참조로 활용하기 위한 것입니다.

1. 배경

1.1 표기법

$K \in \mathbb{N}$에 대해 $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$이라 합시다. 큐비트 인덱스의 유한 집합 $S \subset \mathbb{N}$에 대해, $\mathcal{P}^S$는 해당 큐비트에 작용하는 위상이 없는(unphased) Pauli 연산자의 집합을 나타냅니다. $\mathcal{P}^S$의 원소를 $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$로 사상하는 함수로 간주하므로, 임의의 $P \in \mathcal{P}^S$와 $T \subseteq S$에 대해 $P|_T$는 $P$를 큐비트 부분집합 $T$로 제한한 것을 나타냅니다. 같은 맥락에서, 서로소인 집합 $S, T$와 $P \in \mathcal{P}^S$, $Q \in \mathcal{P}^T$에 대해 $P \otimes Q$는 $P \otimes Q |_S = P$이고 $P \otimes Q |_T = Q$인 $\mathcal{P}^{S \cup T}$의 원소를 나타냅니다. 이 표기법은 부분계의 순서를 명시적으로 다루지 않아도 되게 하고 제한을 쉽게 설명할 수 있게 해 줍니다.

유한 부분집합 $M \subset \mathbb{N}$에 대해, $\mathbb{Z}_2^M$은 원소가 $M$으로 인덱싱되는 비트열의 집합을 나타냅니다. 위와 마찬가지로 원소를 $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$로 사상하는 함수로 간주하여, 인덱스 집합의 제한으로 부분 문자열을 쉽게 설명할 수 있습니다.

마지막으로, 행렬 $X$에 대해 그 벡터화를 $| X \rangle\!\rangle$로 나타냅니다. 이 표기법을 제한적으로만 사용하므로 특정한 벡터화 규약을 선택할 필요는 없습니다. 고전 비트열 $m$에 대해서는 $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$이라는 약식 표기를 사용합니다.

1.2 양자 기구

고전 비트 $m \in \mathbb{Z}_2^M$을 생성하는 양자 연산(예: 측정 결과)은 일반적으로 다음 형태의 선형 사상으로 모델링됩니다.

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

여기서 집합 $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$은 완전 양의(completely positive) 사상이고 $\sum_m \mathcal{E}_m$은 대각합 보존(trace-preserving)입니다. 이러한 성질을 만족하는 완전 양의 사상의 집합 $\{\mathcal{E}_m\}$을 *양자 기구(quantum instrument)*라고 합니다. 유니터리 게이트는 유니터리 연산인 원소가 하나뿐인 기구의 특수한 경우입니다.

2. 노이즈가 있는 Clifford-MCM-리셋 게이트

이 패키지에서 사용하는 형식론은 특성을 파악할 게이트 집합의 모든 게이트가 $K$개 큐비트에 대한 다음 연산 시퀀스로 구성된다고 가정합니다.

1. 모든 큐비트에 대한 Clifford 연산.

2. 일부 큐비트 부분집합 $M \subseteq [K]$에 대한 $Z$ 방향의 회로 중간 사영 측정.

3. 일부 큐비트 부분집합 $R \subseteq [K]$를 $Z$ 바닥 상태로 되돌리는 회로 중간 리셋.

이는 유니터리 Clifford 게이트, 측정, 상태 준비, 그리고 이들의 모든 조합을 포함하는 일반적인 연산 클래스입니다. 측정과 리셋은 각 큐비트에 대해 항상 $Z$축을 따른다고 가정합니다. 이것이 엄밀하게 요구되는 것은 아니지만, 많은 양자 컴퓨팅 방식의 공통된 특징이며 표현과 분석을 단순화해 줍니다.

[5, 6]에 설명된 리셋이 없는 경우처럼, 노이즈가 있는 이러한 게이트에 특정 트윌링(twirling) 전략을 적용하면 그 결과 연산의 작용을 *균일 Pauli 기구(uniform Pauli instrument)*로 수학적으로 모델링할 수 있습니다. 즉, 양자 기구 표기법에서 $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$이며, 여기서 $G$는 Clifford 유니터리이고 다음이 성립합니다.

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

여기서 각 $\Lambda_{a,b}$는 측정되지 않은 큐비트 $N = [K] \setminus M$에 대한 부분 정규화된 Pauli 채널입니다. 이것이 양자 기구라는 점에서 $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ 역시 대각합 보존이라는 것이 함축됩니다. 몇 가지 참고 사항입니다.

• 트윌링되지 않은 초기 노이즈는 "양자" 오류와 "고전" 오류를 모두 포함하는 것으로 모델링됩니다. 즉, 양자 레지스터에 대한 잘못된 연산과 측정값 보고의 실수를 모두 포함합니다.

• 노이즈 사상 $\Lambda_{a,b}$는 측정 결과 $m$과 무관합니다.

말로 풀어 보면, 위 합의 한 항은 측정된 상태가 $| m + b \rangle$였을 때(만약 $b \neq 0$이면 오분류) 측정 결과 $m$을 관측하고, 측정 레지스터의 출력 상태가 $| m + a \rangle$일 때($a \neq 0$이면 "잘못된" 상태) 이를 나타냅니다. 사상 $\Lambda_{a,b}$는 (측정 동작을 조건으로 한) 측정되지 않은 큐비트에 대한 작용과, (정규화를 통한) 특정 측정 동작의 확률을 동시에 인코딩합니다.

여기서는 트윌링 전략의 구체적인 내용은 중요하지 않으며, 채널을 위의 형태로 만드는 그러한 전략이 존재한다는 것만으로 충분합니다. Pauli 채널의 형태를 더 제한할 수 있는 "더 세밀한" 트윌링 전략도 존재합니다 [7]. 그러나 여기서는 위의 형태를 고려 대상인 가장 일반적인 수학적 표현으로 삼습니다.

[5]의 보조정리 1에서 $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$를 다음과 같이 다시 쓸 수 있음이 증명되었습니다.

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

일부 실수 $\lambda_{x,y}^Q$에 대해 성립하며, 이를 기구의 *충실도(fidelity)*라고 합니다.

이 그림에 리셋을 추가하는 것은 비교적 간단합니다. 큐비트 $R \subset [K]$에 대한 노이즈가 있는 리셋 연산은 다음 분해에 따라 모델링할 수 있습니다.

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

위 형태는 리셋이 각 큐비트에 대해 $Z$축을 따른다는 가정을 명시적으로 활용합니다. 연산의 노이즈는 큐비트 부분집합으로 인덱싱되는 리셋 충실도 $\lambda_r$에 인코딩됩니다.

끝에 리셋 연산을 포함하는 식 (1)의 유사식은 이를 식 (2)과 합성하기만 하면 얻을 수 있습니다. 이 합성을 약간 단순화하면 다음이 됩니다.

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

이 분해는 충실도 $\lambda^Q_{x, y}$의 개수가 다음과 같음을 나타냅니다.

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

극한 경우를 생각해 봅시다. (1) 측정도 리셋도 없는 경우 $M = R = \emptyset$이며, 식은 $K$개 큐비트에 대한 위상 없는 Pauli 연산자의 수인 $4^K$를 줍니다. (2) $M = \emptyset$이고 $R=[K]$인 경우, $[K]$의 부분집합의 수인 $2^K$를 줍니다. 마지막으로 (3) $M = [K]$이고 $R = \emptyset$인 경우 $4^K$를 줍니다. 처음에는 놀랍게 보일 수 있습니다. 표준 학습에서는 측정과 리셋이 보통 같은 수의 충실도 $2^K$를 갖는 것으로 간주되기 때문입니다. 그러나 여기서 전체 측정 게이트는 종단 측정이 아니라 MCM으로 이해되며, 따라서 측정의 항등이 아닌 출력에 해당하는 충실도(식 (3)의 $y \neq 0$ 등)도 포함됩니다.

마지막으로, 리셋이 없는 경우에 식 (1)의 형태를 만들어 내는 모든 트윌링 전략은 간단한 수정만으로 리셋이 있는 일반적인 경우에도 똑같이 적용된다는 점에 유의해야 합니다. 잠재적인 문제는 이러한 트윌링 전략이 측정된 큐비트에 측정 이후 연산을 요구할 수 있다는 것입니다. 따라서 큐비트가 측정되고 또한 리셋된다면, 전략을 구현하기 위해 측정과 리셋 사이, 즉 게이트 내부에 연산을 삽입해야 하는 것처럼 보입니다. 그러나 리셋의 특성상 그러한 연산은 아무 영향도 없으며, 건너뛰어도 원하는 동일한 구조를 얻을 수 있습니다.

3. 경로 형식론

소개에서 설명했듯이, Clifford 게이트에 대한 Pauli 유형 노이즈의 모든 학습 알고리즘은 개별 Pauli가 회로를 거치며 어떻게 진화하는지를 추적하고, 그 과정에서 노이즈 충실도 인자를 얻는 것에 기반합니다. 따라서 이러한 게이트로 구성된 회로의 기댓값은 개별 게이트의 기본 충실도의 곱과 단순하게 연결되며, 이런 방식으로 가정된 희소한 매개변수-충실도 사상을 역변환하여 모델 매개변수를 추론할 수 있습니다.

[1]에서는 유니터리 게이트 집합의 맥락에서 이를 *패턴 전달 그래프(Pattern Transfer Graph, PTG)*로 형식화했습니다. 이는 게이트 집합의 원소와 단일 큐비트 Clifford 게이트 층(완벽하거나 "비용이 없는" 연산으로 가정)으로 구성되는 모든 가능한 실험을 기술하는 방향 그래프입니다. 이는 [5]에서 회로 중간 측정이 있는 게이트 집합을 포함하도록 일반화되었습니다. 두 경우 모두 각 측정 지점에서 특정 관측량을 계산한다는 가정 아래 회로를 거치는 단일 Pauli 연산자를 추적하여 각 실험을 기술합니다. 여기서는 그래프나 경로 구성을 직접 검토하지는 않지만, 이를 정당화하는 데 필요한 사실을 우리의 표기법과 리셋을 포함하여 제시합니다.

회로를 거치는 단일 Pauli 연산자의 추적은 유니터리 게이트 집합의 경우에는 직관적일 수 있지만, 측정의 비결정적 특성 때문에 더 일반적인 Clifford-MCM-리셋 경우에는 그렇게 분명하게 성립하지 않습니다. 다음 명제는 더 일반적인 경우에도 이 그림을 복원합니다 [5].

명제 1

임의의 $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$, $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$에 대해 다음이 성립합니다.

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

다시 말해, MCM이 출력하는 고전 레지스터에서 기댓값 $Z^{x + y|_M}$을 계산하면, Clifford-MCM-리셋 게이트를 통한 관측량의 "하이젠베르크 그림" 진화는 $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$로 사상됩니다. 이 사실만으로도 유니터리 게이트 집합의 경우를 넘어 PTG와 유사한 분석을 복원할 수 있습니다. 측정 결과를 특정한 방식으로 후처리하면, 측정과 리셋이 있는 게이트조차 하나의 Pauli 연산자를 다른 하나로 결정적으로 사상하는 것으로 볼 수 있습니다.

이를 증명하기 전에 식 (3)을 더 시사적인 형태로 씁니다. $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$에 대해 $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$가 성립하므로, (초연산자 표기법으로) 다음과 같습니다.

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

여기서는 식 (3)을 적용하고 항을 모았으며, 고전 측정 결과 레지스터를 나타내기 위해 아래첨자 $M$을 사용했습니다. 이 레지스터는 위에서 양자 레지스터와 비슷한 표기법으로 다룹니다.

증명. 다음이 성립합니다.

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

마지막으로 $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$임을 관찰하면, 위의 마지막 항은 단일 항 $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$로 정리되어 원하는 결과를 얻습니다.

이 이후의 전개, 즉 PTG의 정의, PTG를 통과하는 경로, 그리고 올바르게 정의된 모든 경로가 하나의 실험에 대응한다는 증명은 [5]를 참조하세요.

참고 문헌

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.