내적과 사영

양자 Circuit의 역량과 한계를 더 잘 탐구하기 위한 준비로, 이제 몇 가지 추가적인 수학 개념을 소개합니다. 구체적으로는 벡터 사이의 내적(inner product)(그리고 유클리드 노름과의 연관성), 벡터 집합에 대한 직교성(orthogonality)과 정규 직교성(orthonormality) 개념, 그리고 사영(projection) 행렬을 다룰 것입니다. 사영 행렬은 표준 기저 측정의 편리한 일반화를 가능하게 해 줍니다.

내적

Dirac 표기법에서 임의의 열벡터를 ket으로 나타낼 때, 예를 들어

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix},$$

이에 대응하는 bra 벡터는 이 벡터의 켤레 전치(conjugate transpose)입니다:

$$\langle \psi \vert = \bigl(\vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix}. \tag{1}$$

또한 고전 상태 집합 $\Sigma$를 염두에 두고 열벡터를 ket으로 표현할 때, 예를 들어

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle,$$

이에 대응하는 행(bra) 벡터는 켤레 전치입니다:

$$\langle \psi \vert = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert. \tag{2}$$

또한 bra 벡터와 ket 벡터의 곱은, 각각 단일 행 또는 단일 열을 갖는 행렬로 보면 스칼라값이 됩니다. 구체적으로, 두 열벡터가

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix},$$

와 같이 주어지고 행벡터 $\langle \psi \vert$가 식 $(1)$과 같다면,

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} = \overline{\alpha_1} \beta_1 + \cdots + \overline{\alpha_n}\beta_n.$$

또는 두 열벡터를

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

로 쓰고 $\langle \psi \vert$가 행벡터 $(2)$일 때, 다음이 성립합니다:

$$\begin{aligned} \langle \psi \vert \phi \rangle & = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle\\ & = \Biggl(\sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert\Biggr) \Biggl(\sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b\rangle\Biggr)\\ & = \sum_{a\in\Sigma}\sum_{b\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_b \langle a \vert b \rangle\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a, \end{aligned}$$

여기서 마지막 등호는 고전 상태 $a$와 $b$에 대해 $\langle a \vert a \rangle = 1$이고, $a\neq b$이면 $\langle a \vert b \rangle = 0$이라는 사실에서 비롯됩니다.

값 $\langle \psi \vert \phi \rangle$를 벡터 $\vert \psi\rangle$와 $\vert \phi \rangle$ 사이의 내적이라고 합니다. 내적은 양자 정보와 계산에서 매우 중요하며, 내적 없이는 수학적 수준에서 양자 정보를 깊이 이해하기 어렵습니다.

이제 벡터의 내적에 대한 기본적인 성질들을 정리해 보겠습니다.

1. 유클리드 노름과의 관계. 임의의 벡터

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle$$

   를 자기 자신과 내적하면

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \alpha_a = \sum_{a\in\Sigma} \vert\alpha_a\vert^2 = \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

   따라서 벡터의 유클리드 노름은 다음과 같이 표현할 수도 있습니다:

   $$\bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\| = \sqrt{ \langle \psi \vert \psi \rangle }.$$

   벡터의 유클리드 노름은 항상 음이 아닌 실수임에 유의하세요. 또한 벡터의 유클리드 노름이 0이 되려면 모든 항목이 0이어야 하는데, 이는 곧 그 벡터가 영벡터임을 의미합니다.

   이를 요약하면, 모든 벡터 $\vert \psi \rangle$에 대해

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle \geq 0,$$

   이고, $\langle \psi \vert \psi \rangle = 0$인 것은 오직 $\vert \psi \rangle = 0$일 때뿐입니다. 내적의 이 성질은 때로 양의 정치성(positive definiteness)이라고 불립니다.

2. 켤레 대칭성. 임의의 두 벡터

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

   에 대해

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a \quad\text{and}\quad \langle \phi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\beta_a} \alpha_a,$$

   이므로

   $$\overline{\langle \psi \vert \phi \rangle} = \langle \phi \vert \psi \rangle.$$

3. 두 번째 인수에 대한 선형성(그리고 첫 번째 인수에 대한 켤레 선형성). $\vert \psi \rangle,$ $\vert \phi_1 \rangle,$ $\vert \phi_2 \rangle$가 벡터이고 $\alpha_1,$ $\alpha_2$가 복소수라고 합시다. 새로운 벡터를

   $$\vert \phi\rangle = \alpha_1 \vert \phi_1\rangle + \alpha_2 \vert \phi_2\rangle,$$

   로 정의하면

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \bigl( \alpha_1\vert \phi_1 \rangle + \alpha_2\vert \phi_2 \rangle\bigr) = \alpha_1 \langle \psi \vert \phi_1 \rangle + \alpha_2 \langle \psi \vert \phi_2 \rangle.$$

   즉, 내적은 두 번째 인수에 대해 선형(linear)입니다. 이는 위의 식을 직접 계산하거나, 행렬 곱이 각 인수에 대해(특히 두 번째 인수에 대해) 선형임을 이용하여 확인할 수 있습니다.

   이 사실과 켤레 대칭성을 결합하면, 내적은 첫 번째 인수에 대해 켤레 선형(conjugate linear)임을 알 수 있습니다. 즉, $\vert \psi_1 \rangle,$ $\vert \psi_2 \rangle,$ $\vert \phi \rangle$가 벡터이고 $\alpha_1,$ $\alpha_2$가 복소수일 때,

   $$\vert \psi \rangle = \alpha_1 \vert \psi_1\rangle + \alpha_2 \vert \psi_2 \rangle,$$

   로 정의하면

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \bigl( \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \bigr) \vert\phi\rangle = \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert \phi \rangle + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \phi \rangle.$$

4. 코시–슈바르츠 부등식. 같은 크기의 벡터 $\vert \phi \rangle$와 $\vert \psi \rangle$ 모두에 대해

   $$\bigl\vert \langle \psi \vert \phi \rangle\bigr| \leq \bigl\| \vert\psi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\|.$$

   이 부등식은 양자 정보(및 많은 다른 연구 분야)에서 매우 광범위하게 활용되는 유용한 도구입니다.

직교 집합과 정규직교 집합

두 벡터 $\vert \phi \rangle$와 $\vert \psi \rangle$의 내적이 0일 때, 이 두 벡터를 *직교(orthogonal)*한다고 합니다.

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$$

기하학적으로, 직교 벡터는 서로 직각을 이루는 벡터로 생각할 수 있습니다.

벡터들의 집합 $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$은 집합 내의 모든 벡터가 서로 직교할 때 *직교 집합(orthogonal set)*이라고 합니다. 즉, $j,k\in\{1,\ldots,m\}$이고 $j\neq k$인 모든 선택에 대해

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = 0$$

이 성립하면 이 집합은 직교 집합입니다.

벡터들의 집합 $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$은 직교 집합이면서 동시에 집합 내의 모든 벡터가 단위 벡터일 때 정규직교(orthonormal) 집합이라고 합니다. 달리 말하면, $j,k\in\{1,\ldots,m\}$인 모든 선택에 대해

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = \begin{cases} 1 & j = k\\[1mm] 0 & j\neq k \end{cases} \tag{3}$$

가 성립하면 이 집합은 정규직교 집합입니다.

마지막으로, 집합 $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$이 정규직교 집합임과 동시에 기저를 이루면 *정규직교 기저(orthonormal basis)*라고 합니다. 이는 $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$이 정규직교 집합이면서 $m$이 $\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$이 속한 공간의 차원과 같은 것과 동치입니다.

예를 들어, 임의의 고전적 상태 집합 $\Sigma$에 대해 모든 표준 기저 벡터들의 집합

$$\big\{ \vert a \rangle \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

은 정규직교 기저입니다. 집합 $\{\vert+\rangle,\vert-\rangle\}$은 단일 Qubit에 해당하는 $2$차원 공간의 정규직교 기저이며, 벨 기저 $\{\vert\phi^+\rangle, \vert\phi^-\rangle, \vert\psi^+\rangle, \vert\psi^-\rangle\}$는 두 Qubit에 해당하는 $4$차원 공간의 정규직교 기저입니다.

정규직교 집합을 정규직교 기저로 확장하기

$\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$이 $n$차원 공간에 속하는 벡터들이고, $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$이 정규직교 집합이라고 가정합니다. 정규직교 집합은 항상 선형 독립 집합이므로, 이 벡터들은 반드시 차원 $m$의 부분 공간을 생성합니다. 이 벡터들이 생성하는 부분 공간의 차원이 전체 공간의 차원보다 클 수 없으므로, $m\leq n$임을 알 수 있습니다.

$m<n$인 경우에는, 추가로 $n-m$개의 벡터 $\vert \psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$을 선택하여 $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$이 정규직교 기저를 이루도록 하는 것이 항상 가능합니다. 이러한 벡터들을 구성하는 데는 그람-슈미트 정규직교화(Gram–Schmidt orthogonalization) 과정이 사용될 수 있습니다.

정규직교 집합과 유니터리 행렬

정규직교 벡터 집합은 유니터리 행렬과 밀접하게 연결되어 있습니다. 이 연결을 표현하는 한 가지 방법은, 임의의 정방 행렬 $U$에 대해 다음 세 가지 명제가 논리적으로 동치(모두 참이거나 모두 거짓)라고 말하는 것입니다.

1. 행렬 $U$는 유니터리이다 (즉, $U^{\dagger} U = \mathbb{I} = U U^{\dagger}$).
2. $U$의 행들이 정규직교 집합을 이룬다.
3. $U$의 열들이 정규직교 집합을 이룬다.

이 동치 관계는 행렬 곱셈과 켤레 전치가 어떻게 작동하는지를 생각해보면 사실 꽤 명확합니다. 예를 들어, 다음과 같은 $3\times 3$ 행렬이 있다고 가정합니다.

$$U = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}$$

$U$의 켤레 전치는 다음과 같습니다.

$$U^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix}$$

켤레 전치를 왼쪽에 두고 두 행렬을 곱하면 다음 행렬을 얻습니다.

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}\\[4mm] \quad &= \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

$U$의 열들로부터 세 벡터를 구성하면,

$$\vert \psi_1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1}\\ \alpha_{2,1}\\ \alpha_{3,1} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_2\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,2}\\ \alpha_{2,2}\\ \alpha_{3,2} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_3\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,3}\\ \alpha_{2,3}\\ \alpha_{3,3} \end{pmatrix},$$

위의 곱을 다음과 같이 다르게 표현할 수 있습니다.

$$U^{\dagger} U = \begin{pmatrix} \langle \psi_1\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_2\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_3\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_3 \rangle \end{pmatrix}$$

식 $(3)$을 참조하면, 이 행렬이 단위 행렬과 같다는 조건이 집합 $\{\vert\psi_1\rangle,\vert\psi_2\rangle,\vert\psi_3\rangle\}$의 정규직교성과 동치임을 알 수 있습니다.

이 논증은 임의의 크기의 유니터리 행렬로 일반화됩니다. 행렬의 행들이 정규직교 기저를 이룰 필요충분조건이 그 행렬이 유니터리인 것이라는 사실은, 행렬이 유니터리인 것과 그 전치 행렬이 유니터리인 것이 동치라는 사실로부터 따릅니다.

위에서 설명한 동치 관계와 함께, 모든 정규직교 집합을 정규직교 기저로 확장할 수 있다는 사실을 이용하면 다음과 같은 유용한 결론을 얻을 수 있습니다. $n$차원 공간에서 추출한 임의의 정규직교 벡터 집합 $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$에 대해, 처음 $m$개의 열이 벡터 $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$인 유니터리 행렬 $U$가 존재합니다. 그림으로 표현하면, 항상 다음 형태의 유니터리 행렬을 찾을 수 있습니다.

$$U = \left( \begin{array}{ccccccc} \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt}\\ \vert\psi_1\rangle & \vert\psi_2\rangle & \cdots & \vert\psi_m\rangle & \vert\psi_{m+1}\rangle & \cdots & \vert\psi_n\rangle\\[2mm] \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} \end{array} \right).$$

여기서 나머지 $n-m$개의 열은 $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$이 정규직교 기저를 이루도록 하는 임의의 벡터 $\vert\psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$으로 채워집니다.

사영과 사영 측정

사영 행렬

정방 행렬 $\Pi$가 다음 두 가지 성질을 만족하면 *사영(projection)*이라고 합니다.

1. $\Pi = \Pi^{\dagger}.$
2. $\Pi^2 = \Pi.$

첫 번째 조건, 즉 자기 자신의 켤레 전치와 같은 행렬을 *에르미트 행렬(Hermitian matrix)*이라 하고, 두 번째 조건, 즉 제곱해도 변하지 않는 행렬을 멱등(idempotent) 행렬이라 합니다.

주의할 점으로, 사영이라는 용어는 때로 두 번째 조건만 만족하고 첫 번째 조건은 반드시 만족하지 않는 행렬을 가리키는 데 쓰이기도 합니다. 이 경우 두 조건을 모두 만족하는 행렬을 가리키기 위해 *직교 사영(orthogonal projection)*이라는 용어를 사용합니다. 그러나 양자 정보 및 계산의 맥락에서는 사영 또는 사영 행렬이 두 조건을 모두 만족하는 행렬을 가리키는 것이 일반적입니다.

사영의 예로, 임의의 단위 벡터 $\vert \psi\rangle$에 대해 다음 행렬이 있습니다.

$$\Pi = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \tag{4}$$

이 행렬이 에르미트임은 다음과 같이 확인할 수 있습니다.

$$\Pi^{\dagger} = \bigl( \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger}\bigl( \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \Pi.$$

여기서 두 번째 등호를 얻기 위해 다음 공식을 사용했습니다.

$$(A B)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger},$$

이는 곱 $AB$가 정의되는 임의의 두 행렬 $A$와 $B$에 대해 항상 성립합니다.

$(4)$의 행렬 $\Pi$가 멱등임을 확인하기 위해, $\vert\psi\rangle$가 단위 벡터이므로 $\langle \psi \vert \psi\rangle = 1$을 만족한다는 가정을 활용합니다. 따라서 다음이 성립합니다.

$$\Pi^2 = \bigl( \vert\psi\rangle\langle \psi\vert \bigr)^2 = \vert\psi\rangle\langle \psi\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \Pi.$$

더 일반적으로, $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$이 임의의 정규직교 집합이면, 다음 행렬

$$\Pi = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \tag{5}$$

은 사영입니다. 구체적으로 다음이 성립합니다.

$$\begin{aligned} \Pi^{\dagger} &= \biggl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \bigl(\vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert\bigr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ &= \Pi, \end{aligned}$$

그리고

$$\begin{aligned} \Pi^2 & = \biggl( \sum_{j = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert\Bigr)\Bigl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr) \\ & = \sum_{j = 1}^m\sum_{k = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \\ & = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ & = \Pi, \end{aligned}$$

여기서 $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$의 정규직교성이 끝에서 두 번째 등호를 보장합니다.

사실 이것으로 모든 경우가 설명됩니다. 모든 사영 $\Pi$는 어떤 정규직교 집합 $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$에 대해 형태 $(5)$로 쓸 수 있습니다. (엄밀히 말하면, 사영인 영행렬 $\Pi=0$은 특수한 경우입니다. 이를 일반적인 형태 $(5)$에 맞추려면 합이 공집합인 경우, 즉 영행렬이 되는 경우를 허용해야 합니다.)

사영 측정

양자 시스템에 대한 측정의 개념은 표준 기저 측정보다 더 일반적입니다. *사영 측정(projective measurement)*은 합이 항등 행렬이 되는 사영들의 모음으로 기술되는 측정입니다. 기호로 나타내면, 사영 행렬들의 모음 $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$이 사영 측정을 기술하려면 다음을 만족해야 합니다.

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}.$$

이러한 측정을 어떤 상태 $\vert\psi\rangle$에 있는 시스템 $\mathsf{X}$에 수행하면 두 가지 일이 일어납니다.

1. 각 $k\in\{0,\ldots,m-1\}$에 대해, 측정 결과가 $k$일 확률은 다음과 같습니다.

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $k$}\bigr) = \bigl\| \Pi_k \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. 측정에서 어떤 결과 $k$가 나오든, $\mathsf{X}$의 상태는 다음이 됩니다.

   $$\frac{\Pi_k \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_k \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

원한다면 사영 측정의 결과를 $\{0,\ldots,m-1\}$ 이외의 집합으로 선택할 수도 있습니다. 더 일반적으로, 유한하고 비어 있지 않은 집합 $\Sigma$에 대해, 사영 행렬들의 모음

$$\{\Pi_a:a\in\Sigma\}$$

이 다음 조건을 만족하면

$$\sum_{a\in\Sigma} \Pi_a = \mathbb{I},$$

이 모음은 가능한 결과가 집합 $\Sigma$와 일치하는 사영 측정을 기술하며, 규칙은 이전과 동일합니다.

1. 각 $a\in\Sigma$에 대해, 측정 결과가 $a$일 확률은 다음과 같습니다.

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $a$}\bigr) = \bigl\| \Pi_a \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. 측정에서 어떤 결과 $a$가 나오든, $\mathsf{X}$의 상태는 다음이 됩니다.

   $$\frac{\Pi_a \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_a \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

예를 들어, 표준 기저 측정은 사영 측정과 동등합니다. 이때 $\Sigma$는 대상 시스템 $\mathsf{X}$의 고전 상태 집합이고, 사영 행렬들의 집합은 $\{\vert a\rangle\langle a\vert:a\in\Sigma\}$입니다.

사영 측정의 또 다른 예로, 두 Qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 대한 집합 $\{\Pi_0,\Pi_1\}$이 있습니다. 여기서

$$\Pi_0 = \vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert + \vert \phi^-\rangle\langle \phi^- \vert + \vert \psi^+\rangle\langle \psi^+ \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert.$$

여러 시스템이 함께 어떤 양자 상태에 있고 그 중 하나의 시스템에 사영 측정이 수행되는 경우, 그 작용은 표준 기저 측정에서의 경우와 유사합니다. 실제로 이제는 이전보다 훨씬 간결하게 이 작용을 기술할 수 있습니다.

구체적으로, 두 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$이 양자 상태 $\vert\psi\rangle$에 있고, $\mathsf{Y}$에는 아무것도 하지 않은 채 시스템 $\mathsf{X}$에 $\{\Pi_a : a\in\Sigma\}$로 기술되는 사영 측정이 수행된다고 가정합니다. 이는 결합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 다음 모음으로 기술되는 사영 측정을 수행하는 것과 동등합니다.

$$\bigl\{ \Pi_a \otimes \mathbb{I} \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

각 측정 결과 $a$가 나올 확률은

$$\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|^2,$$

이고, 결과 $a$가 나온 것을 조건으로 결합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 상태는 다음이 됩니다.

$$\frac{(\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle}{\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|}.$$

사영 측정의 구현

임의의 사영 측정은 유니터리 연산, 표준 기저 측정, 그리고 추가적인 작업 공간 시스템을 사용하여 구현할 수 있습니다. 이에 대해 지금부터 설명합니다.

$\mathsf{X}$가 시스템이고 $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$이 $\mathsf{X}$에 대한 사영 측정이라고 가정합니다. 결과 집합이 다른 사영 측정으로 이 논의를 쉽게 일반화할 수 있지만, 편의상 측정의 가능한 결과 집합이 $\{0,\ldots,m-1\}$이라고 가정합니다.

$m$이 반드시 $\mathsf{X}$의 고전 상태 수와 같을 필요는 없다는 점을 명시적으로 언급합니다. $\mathsf{X}$의 고전 상태 수를 $n$이라 하면, 각 행렬 $\Pi_k$는 $n\times n$ 사영 행렬입니다.

$\{\Pi_0\ldots,\Pi_{m-1}\}$이 사영 측정을 나타낸다고 가정했으므로, 다음이 반드시 성립합니다.

$$\sum_{k = 0}^{m-1} \Pi_k = \mathbb{I}_n.$$

우리의 목표는 $\mathsf{X}$에 이 사영 측정을 수행하는 것과 동일한 효과를 내되, 유니터리 연산과 표준 기저 측정만을 사용하여 이를 달성하는 것입니다.

이를 위해 추가 작업 공간 시스템 $\mathsf{Y}$를 활용합니다. 구체적으로, $\mathsf{Y}$의 고전 상태 집합을 $\{0,\ldots,m-1\}$로 설정하는데, 이는 사영 측정의 결과 집합과 동일합니다. 아이디어는 $\mathsf{Y}$에 표준 기저 측정을 수행하고, 이 측정의 결과를 $\mathsf{X}$에 대한 사영 측정의 결과와 동등한 것으로 해석하는 것입니다. $\mathsf{Y}$는 어떤 고정된 상태로 초기화되어 있다고 가정해야 하는데, 여기서는 $\vert 0\rangle$을 선택합니다. (다른 고정된 양자 상태 벡터를 선택해도 작동하지만, $\vert 0\rangle$을 선택하면 이후 설명이 훨씬 간단해집니다.)

물론, $\mathsf{Y}$의 표준 기저 측정이 $\mathsf{X}$에 대한 정보를 알려주려면, $\mathsf{Y}$를 측정하기 전에 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 결합 시스템 $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$에 유니터리 연산을 수행하는 방식으로 서로 상호작용해야 합니다. 먼저 다음 행렬을 고려합니다.

$$M = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \langle 0 \vert \otimes \Pi_k.$$

소위 블록 행렬(block matrix), 즉 하나의 더 큰 행렬로 해석되는 행렬들의 행렬로 명시적으로 나타내면, $M$은 다음과 같습니다.

$$M = \begin{pmatrix} \Pi_0 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \Pi_1 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

여기서 각 $0$은 완전히 영으로 채워진 $n\times n$ 행렬을 나타내므로, 전체 행렬 $M$은 $nm\times nm$ 행렬입니다.

$M$은 ($m=1$인 경우 $\Pi_0 = \mathbb{I}$이므로 $M = \mathbb{I}$가 되는 자명한 경우를 제외하면) 분명히 유니터리 행렬이 아닙니다. 유니터리 행렬은 완전히 영인 열(또는 행)을 가질 수 없기 때문입니다. 유니터리 행렬의 열들은 정규직교 기저를 이루어야 하는데, 영벡터는 단위 벡터가 아닙니다.

그러나 행렬 $M$의 처음 $n$개의 열은 정규직교하며, 이는 $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$이 측정이라는 가정에서 비롯됩니다. 이를 확인하기 위해, 각 $j\in\{0,\ldots,n-1\}$에 대해 $M$의 $j$번째 열로 이루어진 벡터가 다음과 같음을 주목합니다.

$$\vert \psi_j\rangle = M \vert 0, j\rangle = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert j\rangle.$$

여기서 열 번호는 $0$부터 시작합니다. $i,j\in\{0,\ldots,n-1\}$일 때 $i$번째 열과 $j$번째 열의 내적을 계산하면

$$\begin{aligned} \langle \psi_i \vert \psi_j \rangle & = \biggl(\sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert i\rangle\biggr)^{\dagger} \biggl(\sum_{l = 0}^{m-1} \vert l \rangle \otimes \Pi_l \vert j\rangle\biggr) \\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \sum_{l = 0}^{m-1} \langle k \vert l \rangle \langle i \vert \Pi_k \Pi_l \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \langle i \vert \mathbb{I} \vert j \rangle\\ & = \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i\neq j, \end{cases} \end{aligned}$$

이로써 증명이 완료됩니다.

따라서 행렬 $M$의 처음 $n$개의 열이 정규직교하므로, 나머지 영 항목들을 다른 복소수 항목들로 대체하여 전체 행렬을 유니터리로 만들 수 있습니다.

$$U = \begin{pmatrix} \Pi_0 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \Pi_1 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

행렬 $\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}$이 주어지면, Gram–Schmidt 과정을 사용하여 방정식에서 $\fbox{?}$로 표시된 블록들을 채울 적절한 행렬들을 계산할 수 있습니다. 하지만 이 논의의 목적상 이 행렬들이 구체적으로 무엇인지는 중요하지 않습니다.

마지막으로 측정 과정을 기술할 수 있습니다. 먼저 결합 시스템 $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$에 $U$를 수행한 다음, $\mathsf{Y}$에 표준 기저 측정을 수행합니다. $\mathsf{X}$의 임의의 상태 $\vert \phi \rangle$에 대해, 다음 상태를 얻습니다.

$$U \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = M \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k\rangle \otimes \Pi_k \vert\phi\rangle,$$

여기서 첫 번째 등호는 $U$와 $M$이 처음 $n$개의 열에서 일치한다는 사실에서 비롯됩니다. $\mathsf{Y}$에 사영 측정을 수행하면, 각 결과 $k$가 다음 확률로 나옵니다.

$$\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|^2,$$

이 경우 $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$의 상태는 다음이 됩니다.

$$\vert k\rangle \otimes \frac{\Pi_k \vert \phi\rangle}{\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|}.$$

따라서 $\mathsf{Y}$는 측정 결과의 사본을 저장하고, $\mathsf{X}$는 $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$로 기술되는 사영 측정이 $\mathsf{X}$에 직접 수행되었을 경우와 정확히 동일하게 변합니다.