Pauli 항 절단에 서로 다른 Lp-노름 사용하기

참고: 이 가이드를 읽기 전에 Truncate Pauli terms 가이드를 먼저 읽어 보세요. 해당 가이드는 지정된 TruncationErrorBudget을 기반으로 backpropagate 메서드에 내장된 낮은 가중치 Pauli 항의 절단을 설명합니다. 이 가이드에서는 backpropagate의 키워드 인수 p_norm에 대해 알아봅니다. 이 인수를 사용하면 절단된 Pauli 항으로 인해 발생하는 오차를 추정하는 데 쓰이는 Lp-노름을 바꿀 수 있습니다.

예제 회로 구성하기

이 가이드는 Truncate Pauli terms 가이드와 같은 예제 회로를 사용합니다.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "qiskit": "qiskit", "qiskit_addon_obp": "qiskit-addon-obp", "qiskit_addon_utils": "qiskit-addon-utils", "rustworkx": "rustworkx"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import rustworkx.generators
from qiskit.synthesis import LieTrotter
from qiskit_addon_utils.problem_generators import (
    PauliOrderStrategy,
    generate_time_evolution_circuit,
    generate_xyz_hamiltonian,
)
from qiskit_addon_utils.slicing import combine_slices, slice_by_gate_types

# Generate a linear chain of 10 qubits
num_qubits = 10
linear_chain = rustworkx.generators.path_graph(num_qubits)

# Use an arbitrary XY model
hamiltonian = generate_xyz_hamiltonian(
    linear_chain,
    coupling_constants=(0.05, 0.02, 0.0),
    ext_magnetic_field=(0.02, 0.08, 0.0),
    pauli_order_strategy=PauliOrderStrategy.InteractionThenColor,
)
# Evolve for some time
circuit = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian, synthesis=LieTrotter(reps=3), time=2.0
)
# slice the circuit by gate type
slices = slice_by_gate_types(circuit)

# For visualization purposes only, recombine the slices with barriers between them and draw the resulting circuit
combine_slices(slices, include_barriers=True).draw("mpl", fold=50, scale=0.6)

전체 자화에 대한 관측량을 정의합니다.

from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp

obs = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("Z", [i], 1.0) for i in range(num_qubits)], num_qubits=num_qubits
)

참고용으로 정확한 기댓값을 계산합니다.

from qiskit.primitives import StatevectorEstimator

estimator = StatevectorEstimator()
job = estimator.run([(circuit, obs)])
res = job.result()
exact_exp = res[0].data.evs
print(exact_exp)

9.318197859862146

L1 노름 사용하기

Truncate Pauli terms 가이드에서 이미 보셨듯이 기본값은 p_norm=1이며, 이는 오차를 다음과 같이 추정한다는 뜻입니다.

$$|\langle\psi|\Delta|\psi\rangle| \leq \sum_{P\in\mathcal{T}} |c_P|$$

여기서 $\psi$는 양자 상태, $\Delta$는 정확한 관측량과 절단된 관측량 사이의 실제 차이(알 수 없음), $\mathcal{T}$는 절단된 Pauli 항의 집합, $c_P$는 Pauli 항의 계수입니다. 이 부등식은 엄밀하지만 대부분의 경우 매우 느슨한 상한입니다. 이 가이드에서는 슬라이스당 0.001의 일정한 오차를 사용하여 예제 회로의 슬라이스 여섯 개를 역전파합니다. 이 값은 주어진 p_norm 안에서의 예산으로 이해해야 합니다.

from qiskit_addon_obp.utils.truncating import setup_budget

l1_truncation_error_budget = setup_budget(max_error_per_slice=0.001, p_norm=1)
print(l1_truncation_error_budget)

TruncationErrorBudget(per_slice_budget=[0.001], max_error_total=inf, p_norm=1)

from qiskit_addon_obp import backpropagate

max_slices = 6
l1_bp_obs, l1_remaining_slices, l1_metadata = backpropagate(
    obs,
    slices[-max_slices:],
    truncation_error_budget=l1_truncation_error_budget,
)
l1_reduced_circuit = combine_slices(
    slices[:-max_slices] + l1_remaining_slices
)
print(
    f"Backpropagated {max_slices - len(l1_remaining_slices)} circuit slices."
)
print(
    f"New observable contains {len(l1_bp_obs)} terms and {len(l1_bp_obs.group_commuting(qubit_wise=True))} commuting groups."
)

Backpropagated 6 circuit slices.
New observable contains 116 terms and 10 commuting groups.

이제 역전파된 관측량의 기댓값과 정확한 기준값에 대한 오차를 계산할 수 있습니다.

estimator = StatevectorEstimator()
job = estimator.run([(l1_reduced_circuit, l1_bp_obs)])
res = job.result()
l1_exp = res[0].data.evs
l1_error = exact_exp - l1_exp
print(l1_exp, l1_error)

9.317869899338842 0.00032796052330397174

마지막으로 각 슬라이스를 역전파하는 동안 발생한 오차와 누적 오차를 그래프로 나타낼 수 있습니다. 누적 오차는 슬라이스별 오차의 합입니다. 누적 오차가 실제 오차에 대해 매우 느슨한 상한임을 확인할 수 있습니다.

from matplotlib import pyplot as plt
from qiskit_addon_obp.utils.visualization import (
    plot_accumulated_error,
    plot_slice_errors,
)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
axes[1].plot([6], [l1_error], "x", color="red", label="actual error")
plot_slice_errors(l1_metadata, axes[0])
plot_accumulated_error(l1_metadata, axes[1])

L2 노름 사용하기

L2 노름이 L1 노름보다 발생한 오차를 더 잘 근사한다고 볼 수 있습니다. 양자 상태 $|\psi\rangle$가 Haar 랜덤 앙상블에서 추출된다고 가정할 수 있기 때문입니다. 이 경우 발생하는 오차는 평균이 0에 가깝고, 분산은 L2 노름으로 대략 한정할 수 있는 분포를 따릅니다.

$$|\langle\psi|\Delta|\psi\rangle| \lesssim \left( \sum_{P\in\mathcal{T}} |c_P|^2 \right)^{1/2}$$

이 한계는 엄밀하지 않지만, 병적인 경우에만 위배됩니다. 이번에도 슬라이스당 최대 오차 0.001(이번에는 L2 노름으로 해석)을 사용하여 예제 회로의 슬라이스 여섯 개를 역전파합니다.

l2_truncation_error_budget = setup_budget(max_error_per_slice=0.001, p_norm=2)
print(l2_truncation_error_budget)

TruncationErrorBudget(per_slice_budget=[0.001], max_error_total=inf, p_norm=2)

max_slices = 6
l2_bp_obs, l2_remaining_slices, l2_metadata = backpropagate(
    obs,
    slices[-max_slices:],
    truncation_error_budget=l2_truncation_error_budget,
)
l2_reduced_circuit = combine_slices(
    slices[:-max_slices] + l2_remaining_slices
)
print(
    f"Backpropagated {max_slices - len(l2_remaining_slices)} circuit slices."
)
print(
    f"New observable contains {len(l2_bp_obs)} terms and {len(l2_bp_obs.group_commuting(qubit_wise=True))} commuting groups."
)

Backpropagated 6 circuit slices.
New observable contains 84 terms and 6 commuting groups.

다시 역전파된 관측량의 기댓값과 정확한 기준값에 대한 오차를 계산합니다.

estimator = StatevectorEstimator()
job = estimator.run([(l2_reduced_circuit, l2_bp_obs)])
res = job.result()
l2_exp = res[0].data.evs
l2_error = exact_exp - l2_exp
print(l2_exp, l2_error)

9.317829770853422 0.00036808900872387085

슬라이스별 발생 오차와 누적 오차를 그래프로 나타내면 이전과 비슷한 결과를 얻습니다.

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
axes[1].plot([6], [l2_error], "x", color="red", label="actual error")
plot_slice_errors(l2_metadata, axes[0])
plot_accumulated_error(l2_metadata, axes[1])

누적 오차는 이번에도 개별 슬라이스 오차의 합입니다. 이 한계를 재귀적으로 계산해야 하므로, Minkowski 부등식 때문에 이 또한 느슨한 한계입니다.

$$|\langle\psi|\Delta_{i}|\psi\rangle| \leq |\langle\psi|\tilde{\Delta}_{i-1}|\psi\rangle| + \left( \sum_{P\in\mathcal{T_i}} |c_P|^2 \right)^{1/2} = |\langle\psi|\tilde{\Delta}_{i}|\psi\rangle|$$

여기서 새로운 아래첨자 $i$는 현재 슬라이스 반복을 나타내며, $\Delta_i$는 역전파 반복 $i$에서의 실제 오차, $\tilde{\Delta}_{i-1}$는 반복 $i-1$에서 근사된 절단 오차, $\mathcal{T}_i$는 반복 $i$에서 절단된 Pauli 항의 집합입니다.