초고밀도 부호화

초고밀도 부호화는 어떤 의미에서 순간이동과 상호보완적인 목표를 달성하는 프로토콜입니다. (1 e-비트의 얽힘을 소모하여) 2비트의 고전적 통신을 사용해 1개의 qubit을 전송하는 것 대신, (역시 1 e-비트의 얽힘을 소모하여) 1개의 qubit의 양자 통신을 사용해 2비트의 고전 정보를 전송할 수 있게 해줍니다.

좀 더 자세히 설명하자면, 우리는 1 e-비트의 얽힘을 공유하는 송신자(Alice)와 수신자(Bob)가 있습니다. 이 레슨의 관례에 따르면, 이는 Alice가 qubit $\mathsf{A}$를, Bob이 qubit $\mathsf{B}$를 소유하고 있으며, 쌍 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$가 함께 $\vert\phi^+\rangle$ 상태에 있다는 것을 의미합니다. Alice는 2비트의 고전 정보를 Bob에게 전송하고자 하며, 이를 $c$와 $d$로 표기합니다. 그리고 그녀는 qubit 하나를 Bob에게 보냄으로써 이를 달성합니다.

이 위업을 순간이동이 이루는 것보다 덜 흥미롭게 보는 것은 타당합니다. 가까운 미래에 qubit을 전송하는 일이 고전 비트를 전송하는 일보다 훨씬 더 어려울 것이므로, e-비트까지 소모하면서 1 qubit의 양자 통신을 2비트의 고전 통신과 맞바꾸는 것은 그다지 가치가 없어 보입니다. 하지만 이것이 초고밀도 부호화가 흥미롭지 않다는 뜻은 아닙니다. 분명히 초고밀도 부호화는 매우 흥미롭습니다.

이번 레슨의 주제에 맞게, 초고밀도 부호화가 흥미로운 한 가지 이유는 얽힘의 구체적이고 (정보 이론의 맥락에서) 상당히 놀라운 활용을 보여준다는 것입니다. 양자 정보 이론의 유명한 정리인 Holevo의 정리는, 공유된 얽힘 상태를 사용하지 않고는 단일 qubit을 전송함으로써 1비트보다 많은 고전 정보를 전달하는 것이 불가능함을 시사합니다. (Holevo의 정리는 이보다 더 일반적입니다. 정확한 진술은 기술적이고 설명이 필요하지만, 이는 그 결과 중 하나입니다.) 따라서 초고밀도 부호화를 통해, 공유된 얽힘은 qubit을 전송하여 운반할 수 있는 고전 정보 용량을 사실상 두 배로 늘려줍니다.

프로토콜

다음 양자 Circuit 다이어그램은 초고밀도 부호화 프로토콜을 기술합니다.

말로 표현하면, Alice가 하는 일은 다음과 같습니다.

1. $d=1$이면 Alice는 자신의 qubit $\mathsf{A}$에 $Z$ Gate를 적용합니다(그리고 $d=0$이면 아무것도 하지 않습니다).

2. $c=1$이면 Alice는 자신의 qubit $\mathsf{A}$에 $X$ Gate를 적용합니다(그리고 $c=0$이면 아무것도 하지 않습니다).

그런 다음 Alice는 자신의 qubit $\mathsf{A}$를 Bob에게 보냅니다.

Bob은 qubit $\mathsf{A}$를 받으면, 먼저 $\mathsf{A}$를 제어(control)로, $\mathsf{B}$를 타깃(target)으로 하여 제어 NOT Gate를 적용합니다. 그런 다음 $\mathsf{A}$에 Hadamard Gate를 적용합니다. 그 후 $\mathsf{B}$를 측정하여 $c$를, $\mathsf{A}$를 측정하여 $d$를 얻습니다. 두 경우 모두 표준 기저 측정을 사용합니다.

분석

이 프로토콜의 배경에 있는 아이디어는 매우 단순합니다. Alice는 Bob과 공유하고 싶은 벨 상태를 사실상 선택하고, 자신의 qubit을 Bob에게 보내면, Bob은 Alice가 어떤 벨 상태를 선택했는지 결정하기 위해 측정합니다.

즉, 그들은 처음에 $\vert\phi^+\rangle$을 공유하고, 비트 $c$와 $d$에 따라, Alice는 이 상태를 그대로 두거나 자신의 qubit $\mathsf{A}$에 $\mathbb{I},$ $X,$ $Z,$ 또는 $XZ$를 적용하여 다른 벨 상태 중 하나로 이동시킵니다.

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

Bob의 연산은 네 가지 벨 상태에 다음과 같은 효과를 미칩니다.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

이는 Bob의 연산 결과를 이 상태들에 대해 하나씩 계산함으로써 직접 확인할 수 있습니다.

따라서 Bob이 측정을 수행할 때, Alice가 어떤 벨 상태를 선택했는지 결정할 수 있습니다. 프로토콜이 올바르게 작동하는지 확인하려면 각 경우를 점검하면 됩니다.

• $cd = 00$이면 Bob이 $\mathsf{A}$를 수신했을 때 $(\mathsf{B},\mathsf{A})$의 상태는 $\vert \phi^+\rangle$입니다. 그는 이 상태를 $\vert 00\rangle$으로 변환하여 $cd = 00$을 얻습니다.

• $cd = 01$이면 Bob이 $\mathsf{A}$를 수신했을 때 $(\mathsf{B},\mathsf{A})$의 상태는 $\vert \phi^-\rangle$입니다. 그는 이 상태를 $\vert 01\rangle$로 변환하여 $cd = 01$을 얻습니다.

• $cd = 10$이면 Bob이 $\mathsf{A}$를 수신했을 때 $(\mathsf{B},\mathsf{A})$의 상태는 $\vert \psi^+\rangle$입니다. 그는 이 상태를 $\vert 10\rangle$으로 변환하여 $cd = 10$을 얻습니다.

• $cd = 11$이면 Bob이 $\mathsf{A}$를 수신했을 때 $(\mathsf{B},\mathsf{A})$의 상태는 $\vert \psi^-\rangle$입니다. 그는 이 상태를 $-\vert 11\rangle$로 변환하여 $cd = 11$을 얻습니다. (음의 위상 인자는 여기에서 영향을 미치지 않습니다.)