샘플 기반 크릴로프 양자 대각화 (SKQD)

이 샘플 기반 크릴로프 양자 대각화(SKQD) 단원은 이전 방법들에서 설명한 방법들을 결합합니다. Qiskit 패턴 프레임워크를 활용한 단일 예제로 구성되어 있습니다:

• 단계 1: 문제를 양자 회로와 연산자로 매핑
• 단계 2: 대상 하드웨어에 최적화
• 단계 3: Qiskit Primitives를 사용하여 실행
• 단계 4: 후처리

샘플 기반 양자 대각화 방법의 중요한 단계는 부분공간에 대한 고품질 벡터를 생성하는 것입니다. 이전 단원에서는 LUCJ 앤셰츠를 사용하여 화학 해밀턴 행렬식의 부분공간 벡터를 생성했습니다. 이 단원에서는 단원 2에서 논의한 양자 크릴로프 상태[1]를 사용합니다. 먼저 시간 진화 연산을 사용하여 양자 컴퓨터에서 크릴로프 공간을 만드는 방법을 검토합니다. 그 다음 이것으로부터 샘플을 추출합니다. 시스템 해밀턴 행렬식을 샘플링된 부분공간에 투영하고 대각화하여 바닥상태 에너지를 추정합니다. 이 알고리즘은 단원 2에서 설명한 가정 하에서 바닥상태로 증명 가능하고 효율적으로 수렴합니다.

0. 크릴로프 공간

$r$차 크릴로프 공간 $\mathcal{K}^r$은 행렬 $A$의 더 높은 거듭제곱에 기준 벡터 $\vert v \rangle$를 곱하여 얻은 벡터들로 이루어진 공간이며, 최대 $r-1$까지입니다.

$$\mathcal{K}^r = \left\{ \vert v \rangle, A \vert v \rangle, A^2 \vert v \rangle, ..., A^{r-1} \vert v \rangle \right\}$$

행렬 $A$가 해밀턴 행렬식 $H$인 경우, 해당 공간을 거듭제곱 크릴로프 공간 $\mathcal{K}_P$라고 합니다. $A$가 해밀턴 행렬식으로 생성된 시간 진화 연산자 $U=e^{-iH(dt)}$인 경우, 이 공간을 단위 크릴로프 공간 $\mathcal{K}_U$라고 합니다. 거듭제곱 크릴로프 부분공간은 $H$가 단위 연산자가 아니기 때문에 양자 컴퓨터에서 직접 생성할 수 없습니다. 대신, 거듭제곱 크릴로프 공간과 유사한 수렴 보장을 제공할 수 있는 시간 진화 연산자 $U = e^{-iH(dt)}$를 사용할 수 있습니다. 그러면 $U$의 거듭제곱은 서로 다른 시간 단계 $U^k = e^{-iH(k dt)}$ (여기서 $k = 0, 1, 2, ..., (r-1)$)가 됩니다.

$$\mathcal{K}_U^r = \left\{ \vert \psi \rangle, U \vert \psi \rangle, U^2 \vert \psi \rangle, ..., U^{r-1} \vert \psi \rangle \right\}$$

1. 문제를 양자 회로와 연산자로 매핑

이 단원에서는 주기 경계 조건을 갖는 $L = 22$ 사이트의 반강자성 XX-Z 스핀-1/2 체인에 대한 해밀턴 행렬식을 고려합니다:

$$H = \sum_{i, j}^{N} J_{xy} (X_{i} X_{j} + Y_{i} Y_{j}) + Z_{i} Z_{j}$$

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit qiskit-addon-sqd qiskit-addon-utils qiskit-ibm-runtime

from qiskit.transpiler import CouplingMap
from qiskit_addon_utils.problem_generators import generate_xyz_hamiltonian

num_spins = 22
coupling_map = CouplingMap.from_ring(num_spins)
H_op = generate_xyz_hamiltonian(coupling_map, coupling_constants=(0.3, 0.3, 1.0))

크릴로프 공간을 구성하기 위해 세 가지 주요 요소가 필요합니다:

1. 크릴로프 차원($r$)과 시간 단계($dt$)의 선택.
2. 대상(바닥) 상태와의 다항식 겹침을 가진 초기(기준) 상태(위의 벡터 $\vert v \rangle$)이며, 대상 상태는 희소입니다. 다항식 겹침에 대한 이 요구사항은 양자 위상 추정 알고리즘과 동일합니다.
3. 시간 진화 연산자 $U^{k}=e^{-iH(k * dt)}$ ($k = 0, 1, 2, ..., r-1$).

선택된 $r$ 값(그리고 $dt$)에 대해, 우리는 $r$개의 별도 양자 회로를 만들고 이들로부터 샘플을 추출합니다. 각 양자 회로는 기준 상태의 양자 회로 표현과 $k$ 값에 대한 시간 진화 연산자를 연결하여 생성합니다.

더 큰 크릴로프 차원은 추정된 에너지의 수렴을 개선합니다. 이 단원에서 수렴 추세를 설명하기 위해 차원을 $5$로 설정합니다.

참고 [2]에 따르면 KQD에 충분히 작은 시간 단계는 $\pi / \vert \vert H \vert \vert$이며, 이 값을 과대평가하기보다는 과소평가하는 것이 좋습니다. 한편, $dt$를 너무 작게 선택하면 크릴로프 부분공간의 조건이 악화됩니다. 크릴로프 기저 벡터들이 시간 단계마다 덜 달라지기 때문입니다. 또한 이러한 $dt$ 선택은 SKQD 수렴에 증명 가능하게 적절하지만, 이 샘플링 기반 문맥에서 실제로 최적인 $dt$ 선택은 진행 중인 연구 주제입니다. 이 단원에서 $dt = 0.15$로 설정합니다.

크릴로프 차원과 시간 단계 외에도 시간 진화를 위한 트로터 단계의 개수를 설정해야 합니다. 너무 적은 단계를 사용하면 더 큰 트로터화 오류가 발생하는 반면, 너무 많은 단계는 더 깊은 회로로 이어집니다. 이 단원에서 트로터 단계의 개수를 $6$으로 설정합니다.

# Set parameters for quantum Krylov algorithm
krylov_dim = 5  # size of krylov subspace
dt = 0.15
num_trotter_steps = 6

다음으로, 바닥상태와의 겹침을 갖는 기준 상태 $\vert \psi \rangle$를 선택해야 합니다. 이 해밀턴 행렬식의 경우, 교대하는 1과 0 $\vert ...101...010...101 \rangle$을 가진 Neel 상태를 기준 상태로 사용합니다.

# Prep `Neel` state as the reference state for evolution
from qiskit import QuantumCircuit

qc_state_prep = QuantumCircuit(num_spins)
for i in range(num_spins):
    if i % 2 == 0:
        qc_state_prep.x(i)

마지막으로, 시간 진화 연산자를 양자 회로에 매핑해야 합니다. 이는 단원 2에서 수행되었지만, 여기서는 Qiskit의 메서드, 특히 _synthesis_라는 이름의 메서드를 활용합니다. 수학적 연산자를 양자 게이트를 가진 양자 회로로 합성하는 여러 방법이 있습니다. 많은 이러한 기법들은 Qiskit 합성 모듈에서 사용 가능합니다. 우리는 합성을 위해 LieTrotter 접근법 [3] [4]을 사용합니다.

from qiskit.circuit import QuantumRegister
from qiskit.circuit.library import PauliEvolutionGate
from qiskit.synthesis import LieTrotter

evol_gate = PauliEvolutionGate(
    H_op, time=(dt / num_trotter_steps), synthesis=LieTrotter(reps=num_trotter_steps)
)  # `U` operator

qr = QuantumRegister(num_spins)
qc_evol = QuantumCircuit(qr)
qc_evol.append(evol_gate, qargs=qr)

circuits = []
for rep in range(krylov_dim):
    circ = qc_state_prep.copy()

    # Repeating the `U` operator to implement U^0, U^1, U^2, and so on, for power Krylov space
    for _ in range(rep):
        circ.compose(other=qc_evol, inplace=True)

    circ.measure_all()
    circuits.append(circ)

circuits[1].decompose().draw("mpl", fold=-1)

circuits[2].decompose().draw("mpl", fold=-1)

2. 대상 하드웨어에 최적화

회로를 생성했으므로 대상 하드웨어에 최적화할 수 있습니다. 유틸리티 규모 QPU를 선택합니다.

import warnings

from qiskit import generate_preset_pass_manager
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

warnings.filterwarnings("ignore")

service = QiskitRuntimeService()
# Use the least-busy backend or specify a quantum computer using the syntax commented out below.
backend = service.least_busy(operational=True, simulator=False)
# backend = service.backend("ibm_brisbane")

이제 사전 설정된 통과 관리자를 사용하여 회로를 대상 백엔드로 변환합니다.

pm = generate_preset_pass_manager(backend=backend, optimization_level=3)
isa_circuits = pm.run(circuits=circuits)

3. 대상 하드웨어에서 실행

하드웨어 실행을 위해 회로를 최적화한 후, 대상 하드웨어에서 회로를 실행할 준비가 되었으며 바닥상태 에너지 추정을 위한 샘플을 수집합니다.

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler

sampler = Sampler(mode=backend)
job = sampler.run(isa_circuits, shots=100_000)  # Takes approximately 2m 58s of QPU time

counts_all = [job.result()[k].data.meas.get_counts() for k in range(krylov_dim)]

4. 결과 후처리

다음으로, 증가하는 크릴로프 차원에 대한 개수를 누적 방식으로 집계합니다. 누적된 개수를 사용하여 증가하는 크릴로프 차원에 대한 부분공간을 확장하고 수렴 동작을 분석합니다.

from collections import Counter

counts_cumulative = []
for i in range(krylov_dim):
    counter = Counter()
    for d in counts_all[: i + 1]:
        counter.update(d)

    counts = dict(counter)
    counts_cumulative.append(counts)

해밀턴 행렬식을 투영하고 대각화하기 위해 qiskit-addon-sqd의 기능을 사용합니다. 애드온은 Pauli 문자열 기반 해밀턴 행렬식을 부분공간에 투영하고 SciPy를 사용하여 고유값을 해결하기 위한 기능을 제공합니다.

from qiskit_addon_sqd.counts import counts_to_arrays
from qiskit_addon_sqd.qubit import solve_qubit

원칙적으로, 부분공간을 확장하기 전에 부정확한 패턴을 가진 비트 문자열을 필터링할 수 있습니다. 예를 들어, 이 단원의 반강자성 해밀턴 행렬식의 바닥상태는 일반적으로 "상향" 및 "하향" 스핀의 개수가 같으므로, 비트 문자열의 "1"의 개수는 시스템의 비트(스핀) 총 개수의 정확히 절반이어야 합니다. 다음 함수는 개수에서 지정된 개수("1" 비트)를 갖지 않는 비트 문자열을 필터링합니다.

# Filters out bitstrings that do not have specified number (`num_ones`) of `1` bits.
def postselect_counts(counts, num_ones):
    filtered_counts = {}
    for bitstring, freq in counts.items():
        if bitstring.count("1") == num_ones:
            filtered_counts[bitstring] = freq

    return filtered_counts

올바른 개수의 상향/하향 전자를 가진 비트 문자열을 사용하여 증가하는 크릴로프 차원에 대한 부분공간을 확장하고 고유값을 계산합니다. 문제 크기와 사용 가능한 고전 리소스에 따라, 부분공간 차원을 확인하기 위해 서브샘플링을 도입해야 할 수도 있습니다(SQD 단원의 단원과 유사함). 또한 단원 4와 유사하게 구성 복구의 개념을 적용할 수 있습니다. 재구성된 고유상태에서 사이트 당 전자 점유도를 계산하고 그 정보를 사용하여 잘못된 개수의 상향/하향 전자를 가진 비트 문자열을 수정할 수 있습니다. 관심 있는 독자를 위해 이를 연습 과제로 남겨두겠습니다.

import numpy as np

num_batches = 10
rand_seed = 0
scipy_kwargs = {"k": 2, "which": "SA"}

ground_state_energies = []
for idx, counts in enumerate(counts_cumulative):
    counts = postselect_counts(counts, num_ones=num_spins // 2)
    bitstring_matrix, probs = counts_to_arrays(counts=counts)

    eigenvals, eigenstates = solve_qubit(
        bitstring_matrix, H_op, verbose=False, **scipy_kwargs
    )
    gs_en = np.min(eigenvals)
    ground_state_energies.append(gs_en)

다음으로, 크릴로프 차원의 함수로 계산된 에너지를 플로팅하고 정확한 에너지와 비교합니다. 정확한 에너지는 고전 무차별 대입 방법을 사용하여 별도로 계산됩니다. 증가하는 크릴로프 공간 차원과 함께 추정된 바닥상태 에너지가 수렴함을 알 수 있습니다. 크릴로프 차원 $5$는 제한적이지만, 결과는 여전히 인상적인 수렴을 보여주며, 이는 더 큰 크릴로프 차원으로 개선될 것으로 예상됩니다 [1].

import matplotlib.pyplot as plt

exact_gs_en = -23.934184
plt.plot(
    range(1, krylov_dim + 1),
    ground_state_energies,
    color="blue",
    linestyle="-.",
    label="estimate",
)
plt.plot(
    range(1, krylov_dim + 1),
    [exact_gs_en] * krylov_dim,
    color="red",
    linestyle="-",
    label="exact",
)
plt.xticks(range(1, krylov_dim + 1), range(1, krylov_dim + 1))
plt.legend()
plt.xlabel("Krylov space dimension")
plt.ylabel("Energy")
plt.ylim([-24, -22.50])
plt.title(
    "Estimating Ground state energy with Sample-based Krylov Quantum Diagonalization"
)
plt.show()

이해도 확인

아래 질문을 읽고 답변을 생각한 다음, 삼각형을 클릭하여 솔루션을 공개합니다.

위의 플롯에서 수렴을 개선하기 위해 무엇을 할 수 있을까요?

답변:

크릴로프 차원을 증가시킵니다. 일반적으로 쇼트의 개수를 늘릴 수도 있지만, 위의 계산에서는 이미 매우 높습니다.

SKQD의 주요 장점은 (a) SQD와 (b) KQD에 비해 무엇입니까?

답변:

다른 타당한 답변이 있을 수 있지만, 완전한 답변은 다음을 포함해야 합니다:

(a) SKQD는 SQD가 하지 않는 수렴 보장을 제공합니다. SQD에서는 바닥상태 지원과 우수한 겹침을 가진 매우 좋은 앤셰츠를 추측하거나, 앤셰츠 계열을 샘플링하기 위해 계산에 변분 구성 요소를 도입해야 합니다.

(b) SKQD는 Hadamard 테스트를 통한 행렬 요소의 비용이 많이 드는 계산을 회피하기 때문에 훨씬 적은 QPU 시간이 필요합니다.

5. 요약

• 크릴로프 기저 상태 샘플링을 통한 바닥상태 에너지 추정은 스핀 시스템, 응축 물질 문제, 격자 게이지 이론을 포함한 격자 모델에 매우 적합합니다. 이 접근법은 VQE보다 훨씬 더 나은 스케일링을 이루는데, VQE처럼 변분 앤셰츠의 많은 매개변수에 대한 최적화가 필요하거나, 발견적 앤셰츠 기반 SQD(예: 이전 단원의 화학 문제)가 필요하지 않기 때문입니다.
  • 회로 깊이를 낮게 유지하기 위해, 결함 전 하드웨어에 접근 가능한 격자 문제를 다루는 것이 현명합니다.
• SKQD는 VQE처럼 양자 측정 문제를 야기하지 않습니다. 추정할 교환 파울리 연산자 그룹이 없습니다.
• SKQD는 노이즈가 있는 샘플에 강건하므로 문제별 후선택 루틴(예: 문제별 패턴을 따르지 않는 비트 문자열 필터링)을 사용하거나 고전 대각화 오버헤드를 야기할 수 있습니다(즉, 더 큰 부분공간에서 대각화하여 노이즈의 영향을 효과적으로 제거합니다).

참고자료

[1] Jeffery Yu et al., "Quantum-Centric Algorithm for Sample-Based Krylov Diagonalization" (2025). arxiv:quant-ph/2501.09702.

[2] Ethan N. Epperly, Lin Lin, and Yuji Nakatsukasa. "A theory of quantum subspace diagonalization". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 43, 1263–1290 (2022).

[2] N. Hatano and M. Suzuki, "Finding Exponential Product Formulas of Higher Orders" (2005). arXiv:math-ph/0506007.

[4] D. Berry, G. Ahokas, R. Cleve and B. Sanders, "Efficient quantum algorithms for simulating sparse Hamiltonians" (2006). arXiv:quant-ph/0508139.