고전 정보

이전 강의에서와 마찬가지로, 이번 강의도 고전 정보에 대한 논의로 시작하겠습니다. 다시 한번, 확률적 설명과 양자 설명은 수학적으로 유사하며, 친숙한 고전 정보의 맥락에서 수학이 어떻게 작동하는지를 이해하면 양자 정보가 왜 그런 방식으로 기술되는지를 파악하는 데 도움이 됩니다.

데카르트 곱을 통한 고전 상태

아주 기본적인 수준, 즉 여러 시스템의 고전 상태부터 시작하겠습니다. 단순성을 위해 우선 두 시스템에 대해 논의한 다음, 두 개 이상의 시스템으로 일반화하겠습니다.

정확하게 말하자면, $\mathsf{X}$를 고전 상태 집합이 $\Sigma$인 시스템이라 하고, $\mathsf{Y}$를 고전 상태 집합이 $\Gamma$인 두 번째 시스템이라 하겠습니다. 이 집합들을 고전 상태 집합이라 부르므로, $\Sigma$와 $\Gamma$는 모두 유한하고 비어 있지 않다고 가정합니다. $\Sigma = \Gamma$일 수도 있지만, 반드시 그럴 필요는 없습니다. 어느 경우든 명확성을 위해 이 집합들에 서로 다른 이름을 사용하는 것이 도움이 됩니다.

이제 두 시스템 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$를 $\mathsf{X}$를 왼쪽에, $\mathsf{Y}$를 오른쪽에 나란히 놓는다고 상상해 봅시다. 원한다면, 이 두 시스템을 하나의 단일 시스템으로 볼 수 있으며, 이를 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ 또는 $\mathsf{XY}$로 표기할 수 있습니다. 이 복합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 대해 자연스럽게 떠오르는 질문은 "이 시스템의 고전 상태는 무엇인가?"입니다.

답은 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 고전 상태 집합이 $\Sigma$와 $\Gamma$의 데카르트 곱이라는 것입니다. 이 집합은 다음과 같이 정의됩니다.

$$\Sigma\times\Gamma = \bigl\{(a,b)\,:\,a\in\Sigma\;\text{and}\;b\in\Gamma\bigr\}.$$

간단히 말해, 데카르트 곱은 한 집합의 원소와 다른 집합의 원소를 마치 하나의 집합에 속하는 단일 원소인 것처럼 함께 보는 아이디어를 포착하는 정확한 수학적 개념입니다. 이 경우에서, $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$가 고전 상태 $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$에 있다는 것은 $\mathsf{X}$가 고전 상태 $a\in\Sigma$에 있고 $\mathsf{Y}$가 고전 상태 $b\in\Gamma$에 있다는 의미입니다. 반대로, $\mathsf{X}$의 고전 상태가 $a\in\Sigma$이고 $\mathsf{Y}$의 고전 상태가 $b\in\Gamma$이면, 복합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 고전 상태는 $(a,b)$입니다.

두 개 이상의 시스템에 대해서는 상황이 자연스럽게 일반화됩니다. 임의의 양의 정수 $n$에 대해 $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n$이 각각 고전 상태 집합 $\Sigma_1,\ldots,\Sigma_n$을 갖는 시스템들이라고 가정하면, 단일 복합 시스템으로 볼 때 $n$-튜플 $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n)$의 고전 상태 집합은 다음과 같은 데카르트 곱입니다.

$$\Sigma_1\times\cdots\times\Sigma_n = \bigl\{(a_1,\ldots,a_n)\,:\, a_1\in\Sigma_1,\:\ldots,\:a_n\in\Sigma_n\bigr\}.$$

물론, 시스템에는 원하는 이름을 사용할 수 있으며 순서도 마음대로 정할 수 있습니다. 특히, 위와 같이 $n$개의 시스템이 있을 때 이들을 $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$로 이름 짓고 오른쪽에서 왼쪽 순서로 배열하여 복합 시스템을 $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$으로 만들 수도 있습니다. 관련 고전 상태와 고전 상태 집합의 이름 지정에 동일한 패턴을 따르면, 이 복합 시스템의 고전 상태를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$(a_{n-1},\ldots,a_0) \in \Sigma_{n-1}\times \cdots \times \Sigma_0$$

사실, 이것이 Qiskit에서 여러 Qubit의 이름을 지을 때 사용하는 순서 규칙입니다. 이 규칙이 다음 강의에서 양자 Circuit과 어떻게 연결되는지는 이후에 다루겠지만, 지금부터 이 규칙을 사용하여 익숙해지도록 하겠습니다.

$(a_{n-1},\ldots,a_0)$ 형태의 고전 상태는 간결함을 위해 문자열 $a_{n-1}\cdots a_0$로 쓰는 것이 편리합니다. 이는 특히 고전 상태 집합 $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$이 기호 또는 문자 집합과 연관되는 아주 일반적인 상황에서 그렇습니다. 이 맥락에서 알파벳이라는 용어는 문자열을 이루는 기호 집합을 가리키는 데 흔히 사용되지만, 알파벳의 수학적 정의는 고전 상태 집합의 정의와 정확히 같습니다. 즉, 유한하고 비어 있지 않은 집합입니다.

예를 들어, $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_9$가 비트라고 가정하면, 이 시스템들의 고전 상태 집합은 모두 동일합니다.

$$\Sigma_0 = \Sigma_1 = \cdots = \Sigma_9 = \{0,1\}$$

그러면 복합 시스템 $(\mathsf{X}_9,\ldots,\mathsf{X}_0)$의 고전 상태는 $2^{10} = 1024$개이며, 이는 다음 집합의 원소들입니다.

$$\Sigma_9\times\Sigma_8\times\cdots\times\Sigma_0 = \{0,1\}^{10}.$$

문자열로 표기하면, 이 고전 상태들은 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{c} 0000000000\\ 0000000001\\ 0000000010\\ 0000000011\\ 0000000100\\ \vdots\\[1mm] 1111111111 \end{array}$$

예를 들어, 고전 상태 $0000000110$에서는 $\mathsf{X}_1$과 $\mathsf{X}_2$가 상태 $1$에 있고, 나머지 모든 시스템은 상태 $0$에 있음을 알 수 있습니다.

확률 상태

이전 강의에서 확률 상태는 시스템의 각 고전 상태에 확률을 연결한다고 배웠습니다. 따라서 여러 시스템의 확률 상태 — 이들을 단일 시스템으로 집합적으로 볼 때 — 는 개별 시스템들의 고전 상태 집합의 데카르트 곱의 각 원소에 확률을 연결합니다.

예를 들어, $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 모두 비트라고 가정하면, 각각의 고전 상태 집합은 $\Sigma = \{0,1\}$과 $\Gamma = \{0,1\}$입니다. 다음은 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 확률 상태입니다.

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,0)\bigr) & = 1/2 \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,0)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,1)\bigr) & = 1/2 \end{aligned}$$

이 확률 상태에서는 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$ 모두 랜덤 비트입니다. 각각 확률 $1/2$로 $0$이 되고 확률 $1/2$로 $1$이 되지만, 두 비트의 고전 상태는 항상 일치합니다. 이것은 두 시스템 사이의 상관관계의 한 예입니다.

데카르트 곱 상태 집합의 순서 정하기

시스템의 확률 상태는 이전 강의에서 논의한 것처럼 확률 벡터로 표현할 수 있습니다. 특히, 벡터의 각 원소는 시스템이 가능한 고전 상태에 있을 확률을 나타내며, 원소와 고전 상태 집합 사이의 대응 관계가 선택되어 있다고 이해합니다.

이러한 대응 관계를 선택한다는 것은 사실상 고전 상태의 순서를 결정하는 것입니다. 이 순서는 종종 자연스럽거나 표준 규칙에 의해 결정됩니다. 예를 들어, 이진 알파벳 $\{0,1\}$은 자연스럽게 $0$이 첫 번째, $1$이 두 번째로 정렬되므로, 비트의 확률 상태를 나타내는 확률 벡터에서 첫 번째 원소는 상태 $0$에 있을 확률이고, 두 번째 원소는 상태 $1$에 있을 확률입니다.

여러 시스템의 맥락에서도 이것은 달라지지 않지만, 결정해야 할 사항이 있습니다. 여러 시스템을 함께 단일 시스템으로 볼 때의 고전 상태 집합은 개별 시스템들의 고전 상태 집합의 데카르트 곱입니다. 따라서 데카르트 곱의 원소들을 어떻게 순서 지을지 결정해야 합니다.

이를 위해 따르는 간단한 규칙이 있습니다. 개별 고전 상태 집합에 이미 정해진 순서를 그대로 사용하고, 데카르트 곱의 원소들을 알파벳 순서로 정렬합니다. 다르게 표현하자면, 각 $n$-튜플의 원소들(또는 동등하게, 각 문자열의 기호들)은 왼쪽에서 오른쪽으로 중요도가 감소하는 것으로 취급됩니다. 예를 들어, 이 규칙에 따르면 데카르트 곱 $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$의 순서는 다음과 같습니다.

$$(1,0),\; (1,1),\; (2,0),\; (2,1),\; (3,0),\; (3,1).$$

$n$-튜플을 문자열로 쓰고 이 방식으로 순서를 정하면, $\{0,1\}\times\{0,1\}$이 $00, 01, 10, 11$ 순서로 정렬되고, 집합 $\{0,1\}^{10}$이 앞서 강의에서 쓴 것처럼 정렬되는 등 익숙한 패턴을 볼 수 있습니다. 또 다른 예로, $\{0, 1, \dots, 9\} \times \{0, 1, \dots, 9\}$를 문자열 집합으로 보면, 두 자리 숫자 $00$부터 $99$를 숫자 순서로 얻게 됩니다. 이것은 우연이 아닙니다. 우리의 십진법 수 체계는 정확히 이런 알파벳 순서를 사용하며, 여기서 알파벳이라는 단어는 글자뿐만 아니라 숫자도 포함하는 넓은 의미로 이해해야 합니다.

위의 두 비트 예시로 돌아가서, 앞서 설명한 확률 상태는 다음과 같은 확률 벡터로 표현됩니다. 명확성을 위해 각 원소에 레이블을 붙였습니다.

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0\\[1mm] 0\\[1mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{array}{l} \leftarrow \text{probability of being in the state 00}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 01}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 10}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 11} \end{array} \tag{1}$$

두 시스템의 독립성

두 시스템의 확률 상태 중 특별한 유형은 시스템들이 독립적인 경우입니다. 직관적으로 말하면, 두 시스템은 한 시스템의 고전 상태를 알아도 다른 시스템의 확률에 전혀 영향을 주지 않을 때 독립적입니다. 즉, 한 시스템이 어떤 고전 상태에 있는지 알아도 다른 시스템의 고전 상태에 대한 어떠한 정보도 얻을 수 없습니다.

이 개념을 정확히 정의하기 위해, 다시 한번 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 각각 고전 상태 집합 $\Sigma$와 $\Gamma$를 갖는 시스템이라고 가정하겠습니다. 주어진 확률 상태에서, 다음 조건이 성립하면 두 시스템을 독립적이라고 합니다.

$$\operatorname{Pr}((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)) = \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) \operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b) \tag{2}$$

이 조건은 $a\in\Sigma$와 $b\in\Gamma$의 모든 선택에 대해 성립해야 합니다.

이 조건을 확률 벡터로 표현하기 위해, $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 주어진 확률 상태가 Dirac 표기법으로 다음과 같이 쓰인 확률 벡터로 기술된다고 가정합니다.

$$\sum_{(a,b) \in \Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a b\rangle.$$

그러면 독립성을 위한 조건 $(2)$는 다음 두 확률 벡터의 존재와 동치입니다.

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} q_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} r_b \vert b \rangle, \tag{3}$$

이 벡터들은 각각 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$의 고전 상태에 대한 확률을 나타내며, 모든 $a\in\Sigma$와 $b\in\Gamma$에 대해 다음이 성립해야 합니다.

$$p_{ab} = q_a r_b \tag{4}$$

예를 들어, 다음 벡터로 표현되는 비트 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 확률 상태를 생각해 봅시다.

$$\frac{1}{6} \vert 00 \rangle + \frac{1}{12} \vert 01 \rangle + \frac{1}{2} \vert 10 \rangle + \frac{1}{4} \vert 11 \rangle$$

이 상태에서 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$는 독립적입니다. 구체적으로, 독립성에 필요한 조건은 다음 확률 벡터에 대해 성립합니다.

$$\vert \phi \rangle = \frac{1}{4} \vert 0 \rangle + \frac{3}{4} \vert 1 \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \frac{2}{3} \vert 0 \rangle + \frac{1}{3} \vert 1 \rangle.$$

예를 들어, $00$ 상태의 확률이 일치하려면 $\frac{1}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}$이 되어야 하는데, 실제로 그렇습니다. 다른 원소들도 마찬가지 방식으로 확인할 수 있습니다.

반면, 다음과 같이 쓸 수 있는 확률 상태 $(1)$은

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle, \tag{5}$$

시스템 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$ 사이의 독립성을 나타내지 않습니다. 이를 간단하게 논증하는 방법은 다음과 같습니다.

위의 방정식 $(3)$과 같은 확률 벡터 $\vert \phi\rangle$와 $\vert \psi \rangle$가 존재하여, 모든 $a$와 $b$의 선택에 대해 조건 $(4)$가 만족된다고 가정하겠습니다. 그렇다면 반드시 다음이 성립해야 합니다.

$$q_0 r_1 = \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) = 0.$$

이것은 $q_0 = 0$ 이거나 $r_1 = 0$임을 의미합니다. 둘 다 0이 아니라면 곱 $q_0 r_1$도 0이 아닐 것이기 때문입니다. 이는 $q_0 r_0 = 0$ ($q_0 = 0$인 경우) 또는 $q_1 r_1 = 0$ ($r_1 = 0$인 경우)이라는 결론으로 이어집니다. 그러나 $q_0 r_0 = 1/2$이고 $q_1 r_1 = 1/2$이어야 하므로, 이 등식들 중 어느 것도 성립할 수 없습니다. 따라서 독립성에 필요한 성질을 만족하는 벡터 $\vert\phi\rangle$와 $\vert\psi\rangle$는 존재하지 않습니다.

두 시스템의 독립성을 정의했으므로, 이제 상관관계의 의미를 정의할 수 있습니다. 상관관계는 독립성의 결여입니다. 예를 들어, 벡터 $(5)$로 표현되는 확률 상태의 두 비트는 독립적이지 않으므로, 정의에 따라 상관관계를 가집니다.

벡터의 텐서 곱

방금 설명한 독립성 조건은 텐서 곱이라는 개념을 통해 간결하게 표현할 수 있습니다. 텐서 곱은 매우 일반적인 개념으로, 꽤 추상적으로 정의되어 다양한 수학적 구조에 적용될 수 있지만, 지금 다루는 경우에는 간단하고 구체적인 정의를 사용할 수 있습니다.

두 벡터

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \beta_b \vert b \rangle,$$

가 주어졌을 때, 텐서 곱 $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$는 다음과 같이 정의되는 벡터입니다.

$$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_a \beta_b \vert ab\rangle.$$

이 새로운 벡터의 원소들은 데카르트 곱 $\Sigma\times\Gamma$의 원소들에 대응하며, 위 식에서는 문자열로 표기되어 있습니다. 동등하게, 벡터 $\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$는

$$\langle ab \vert \pi \rangle = \langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle$$

가 모든 $a\in\Sigma$와 $b\in\Gamma$에 대해 성립한다는 조건으로 정의됩니다.

이제 독립성 조건을 다시 표현할 수 있습니다. 확률 벡터 $\vert \pi \rangle$로 표현되는 확률적 상태에 있는 결합 시스템 $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$에서, 시스템 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 독립적이라는 것은 $\vert\pi\rangle$가 각 부분 시스템 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$에 대한 확률 벡터 $\vert \phi \rangle$와 $\vert \psi \rangle$의 텐서 곱

$$\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$$

으로 얻어지는 경우입니다. 이 경우, $\vert \pi \rangle$를 곱 상태 또는 곱 벡터라고 합니다.

ket의 텐서 곱을 표기할 때 $\otimes$ 기호를 생략하는 경우가 많습니다. 예를 들어 $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ 대신 $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$와 같이 씁니다. 이 관례는 텐서 곱이 이 맥락에서 두 벡터의 곱을 취하는 가장 자연스럽고 기본적인 방식임을 나타냅니다. 덜 일반적이지만, $\vert \phi\otimes\psi\rangle$라는 표기도 사용됩니다.

데카르트 곱의 원소들을 순서 지정하기 위한 알파벳 순 관례를 사용하면, 두 열벡터의 텐서 곱에 대한 다음과 같은 구체적인 표현을 얻습니다.

$$\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_m \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_1\\ \vdots\\ \beta_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_1 \beta_k\\ \alpha_2 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_2 \beta_k\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_k \end{pmatrix}$$

중요한 사항으로, 표준 기저 벡터의 텐서 곱에 대한 다음 표현에 주목하세요.

$$\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert ab \rangle.$$

순서쌍으로 $(a,b)$를 문자열 대신 쓸 수도 있으며, 이 경우 $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert (a,b) \rangle$이 됩니다. 하지만 이 상황에서는 괄호를 생략하고 $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert a,b \rangle$로 쓰는 것이 더 일반적입니다. 이는 수학 전반에서 흔히 볼 수 있는 관행으로, 명확성을 더하거나 모호함을 제거하지 않는 괄호는 종종 단순히 생략됩니다.

두 벡터의 텐서 곱은 *쌍선형(bilinear)*이라는 중요한 성질을 가지고 있습니다. 이는 다른 인수를 고정했을 때 두 인수 각각에 대해 선형임을 의미합니다. 이 성질은 다음 등식들로 표현됩니다.

1. 첫 번째 인수에 대한 선형성:

$$\begin{aligned} \bigl(\vert\phi_1\rangle + \vert\phi_2\rangle\bigr)\otimes \vert\psi\rangle & = \vert\phi_1\rangle \otimes \vert\psi\rangle + \vert\phi_2\rangle \otimes \vert\psi\rangle \\[1mm] \bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle & = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) \end{aligned}$$

2. 두 번째 인수에 대한 선형성:

$$\begin{aligned} \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\vert \psi_1 \rangle + \vert \psi_2 \rangle \bigr) & = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_1 \rangle + \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_2 \rangle\\[1mm] \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) & = \alpha \bigl(\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle\bigr) \end{aligned}$$

각 쌍의 두 번째 등식을 살펴보면, 스칼라가 텐서 곱 안에서 "자유롭게 이동"한다는 것을 알 수 있습니다.

$$\bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr).$$

따라서 이 벡터를 $\alpha\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle$, 또는 $\alpha\vert\phi\rangle\vert\psi \rangle$, 또는 $\alpha\vert\phi\otimes\psi\rangle$로 표기해도 모두 명확하게 같은 벡터를 가리킵니다.

세 개 이상의 시스템에 대한 독립성과 텐서 곱

독립성과 텐서 곱의 개념은 세 개 이상의 시스템으로 자연스럽게 일반화됩니다. $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$이 각각 고전적 상태 집합 $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$을 갖는 시스템들일 때, 결합 시스템 $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$의 확률적 상태가 곱 상태라는 것은 연관된 확률 벡터가 다음과 같은 형태를 취하는 경우입니다.

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

여기서 $\vert \phi_0 \rangle,\ldots,\vert \phi_{n-1}\rangle$은 각각 $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$의 확률적 상태를 나타내는 확률 벡터입니다. 텐서 곱의 정의는 자연스럽게 일반화됩니다. 벡터

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

는

$$\langle a_{n-1} \cdots a_0 \vert \psi \rangle = \langle a_{n-1} \vert \phi_{n-1} \rangle \cdots \langle a_0 \vert \phi_0 \rangle$$

가 모든 $a_0\in\Sigma_0, \ldots a_{n-1}\in\Sigma_{n-1}$에 대해 성립한다는 조건으로 정의됩니다.

세 개 이상의 벡터의 텐서 곱을 정의하는 또 다른 동등한 방법은 두 벡터의 텐서 곱을 이용한 재귀적 정의입니다.

$$\vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \bigl( \vert \phi_{n-2} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle \bigr).$$

두 벡터의 텐서 곱과 마찬가지로, 세 개 이상의 벡터의 텐서 곱은 다른 모든 인수를 고정했을 때 각각의 인수에 대해 선형입니다. 이 경우 세 개 이상의 벡터의 텐서 곱은 *다중선형(multilinear)*이라고 합니다.

두 시스템의 경우와 마찬가지로, 시스템들이 곱 상태에 있을 때 $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$이 독립적이라고 할 수 있지만, *상호 독립적(mutually independent)*이라는 표현이 더 정확합니다. 세 개 이상의 시스템에 대한 독립성의 개념으로는 *쌍별 독립성(pairwise independence)*과 같이 흥미롭고 중요한 다른 개념들도 있지만, 이 강좌의 범위에는 포함되지 않습니다.

앞서 표준 기저 벡터의 텐서 곱에 관해 언급한 사실을 일반화하면, 임의의 양의 정수 $n$과 임의의 고전적 상태 $a_0,\ldots,a_{n-1}$에 대해 다음이 성립합니다.

$$\vert a_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert a_0 \rangle = \vert a_{n-1} \cdots a_0 \rangle.$$

확률적 상태의 측정

이제 다중 시스템의 확률적 상태에 대한 측정으로 넘어가 보겠습니다. 여러 시스템을 하나의 시스템으로 묶어서 바라보면, 모든 시스템을 측정하는 경우에 대해 다중 시스템의 측정이 어떻게 동작해야 하는지 즉시 파악할 수 있습니다.

예를 들어, 두 비트 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 확률적 상태가 확률 벡터

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle$$

로 기술된다면, 결과 $00$ — 즉 $\mathsf{X}$ 측정에서 $0$, $\mathsf{Y}$ 측정에서 $0$ — 은 확률 $1/2$로 얻어지고 결과 $11$ 도 확률 $1/2$로 얻어집니다. 각 경우에 우리는 그에 맞게 확률 벡터 기술을 갱신하여, 확률적 상태가 각각 $|00\rangle$ 또는 $|11\rangle$이 되도록 합니다.

그러나 모든 시스템이 아닌 일부 시스템만 측정하도록 선택할 수도 있습니다. 이 경우 측정된 각 시스템에 대한 측정 결과가 산출되며, 일반적으로 측정하지 않은 나머지 시스템에 대한 우리의 지식에도 영향을 미칩니다.

이 작동 방식을 설명하기 위해, 두 시스템 중 하나만 측정하는 경우에 초점을 맞추겠습니다. 세 개 이상의 시스템 중 일부 진부분집합을 측정하는 보다 일반적인 상황도, 측정되는 시스템들을 하나의 시스템으로, 측정되지 않는 시스템들을 또 다른 하나의 시스템으로 묶어서 바라보면 사실상 두 시스템 경우로 귀결됩니다.

정확히 말하면, $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 각각 고전 상태 집합 $\Sigma$와 $\Gamma$를 가지는 시스템이고, 두 시스템이 함께 어떤 확률적 상태에 있다고 가정합니다. $\mathsf{X}$만 측정하고 $\mathsf{Y}$에는 아무것도 하지 않을 때 어떤 일이 일어나는지 살펴보겠습니다. $\mathsf{Y}$만 측정하고 $\mathsf{X}$에는 아무것도 하지 않는 상황은 대칭적으로 처리됩니다.

우선, $\mathsf{X}$만 측정할 때 특정 고전 상태 $a\in\Sigma$를 관측할 확률은 $\mathsf{Y}$도 측정한다고 가정했을 때 얻는 확률과 일치해야 합니다. 즉,

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{b\in\Gamma} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b) \bigr)$$

이 성립해야 합니다.

이것은 $\mathsf{X}$ 단독의 소위 축소(또는 주변) 확률적 상태에 대한 공식입니다.

이 공식은 직관적으로도 완벽하게 타당합니다. 이것이 틀리다면 매우 이상한 일이 일어나야 할 것입니다. 만약 틀렸다면, $\mathsf{Y}$를 측정하는 것이 $\mathsf{Y}$ 측정의 실제 결과와 무관하게 $\mathsf{X}$ 측정의 서로 다른 결과에 관련된 확률에 어떻게든 영향을 줄 수 있다는 의미가 됩니다. $\mathsf{Y}$가 예를 들어 다른 은하 어딘가와 같이 먼 곳에 있다면, 이는 빛보다 빠른 신호 전달을 가능하게 할 텐데 — 이는 우리의 물리학적 이해에 근거하여 거부됩니다. 또 다른 이해 방식은 확률을 믿음의 정도로 해석하는 것입니다. 다른 누군가가 $\mathsf{Y}$를 들여다볼 수도 있다는 사실 자체는 $\mathsf{X}$의 고전 상태를 바꿀 수 없으므로, 그들이 무엇을 봤는지 혹은 보지 않았는지에 대한 어떤 정보도 없는 상태에서 $\mathsf{X}$의 상태에 대한 믿음은 그 결과로 변해서는 안 됩니다.

이제, $\mathsf{X}$만 측정하고 $\mathsf{Y}$는 측정하지 않는다고 가정할 때, $\mathsf{Y}$의 고전 상태에 대한 불확실성이 여전히 존재할 수 있습니다. 이러한 이유로, $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 확률적 상태 기술을 어떤 $a\in\Sigma$와 $b\in\Gamma$의 선택에 대해 $\vert ab\rangle$으로 갱신하는 것이 아니라, $\mathsf{Y}$에 대한 이 불확실성이 적절히 반영되도록 기술을 갱신해야 합니다.

다음 조건부 확률 공식이 이 불확실성을 반영합니다.

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a) = \frac{ \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)\bigr) }{ \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) }$$

여기서 $\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a)$는 $\mathsf{X} = a$라는 조건 하에 (또는 $\mathsf{X} = a$가 주어졌을 때) $\mathsf{Y} = b$일 확률을 나타냅니다. 기술적으로, 이 표현식은 $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a)$가 0이 아닌 경우에만 의미가 있습니다. $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a) = 0$이라면 0으로 나누게 되어 부정형 $\frac{0}{0}$을 얻게 됩니다. 그러나 이것은 문제가 되지 않습니다. $a$에 관련된 확률이 0이라면 $\mathsf{X}$ 측정의 결과로 $a$를 얻는 일이 결코 없을 것이므로, 이 가능성을 신경 쓸 필요가 없기 때문입니다.

이 공식들을 확률 벡터로 표현하기 위해, $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 결합 확률적 상태를 기술하는 확률 벡터 $\vert \pi \rangle$를 생각해 봅시다.

$$\vert\pi\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle$$

$\mathsf{X}$만 측정하면 각 가능한 결과 $a\in\Sigma$가 확률

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{c\in\Gamma} p_{ac}$$

로 산출됩니다.

따라서 $\mathsf{X}$ 단독의 확률적 상태를 나타내는 벡터는 다음과 같습니다.

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl(\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}\biggr) \vert a\rangle.$$

$\mathsf{X}$ 측정에서 특정 결과 $a\in\Sigma$를 얻으면, 조건부 확률 공식에 따라 $\mathsf{Y}$의 확률적 상태가 갱신되어 다음 확률 벡터로 표현됩니다.

$$\vert \psi_a \rangle = \frac{\sum_{b\in\Gamma}p_{ab}\vert b\rangle}{\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}}.$$

$\mathsf{X}$ 측정 결과가 고전 상태 $a$인 경우, 결합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 확률적 상태 기술을 $\vert a\rangle \otimes \vert\psi_a\rangle$으로 갱신합니다.

$\vert\psi_a\rangle$의 이 정의를 이해하는 한 가지 방법은, 이것을 벡터 $\sum_{b\in\Gamma} p_{ab} \vert b\rangle$의 정규화로 보는 것입니다. 즉, 이 벡터의 원소들의 합으로 나누어 확률 벡터를 얻는 것입니다. 이 정규화는 사실상 $\mathsf{X}$ 측정이 결과 $a$를 낸 사건에 대한 조건화를 반영합니다.

구체적인 예로, $\mathsf{X}$의 고전 상태 집합이 $\Sigma = \{0,1\}$이고, $\mathsf{Y}$의 고전 상태 집합이 $\Gamma = \{1,2,3\}$이며, $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 확률적 상태가

$$\vert \pi \rangle = \frac{1}{2} \vert 0,1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 0,3 \rangle + \frac{1}{12} \vert 1,1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,2 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,3 \rangle$$

인 경우를 가정해 봅시다.

목표는 시스템 $\mathsf{X}$를 측정한다고 가정했을 때 두 가지 가능한 결과($0$과 $1$)의 확률을 결정하고, 두 결과 각각에 대해 $\mathsf{Y}$의 결과적인 확률적 상태를 계산하는 것입니다.

텐서 곱의 쌍선형성, 특히 두 번째 인수에 대해 선형임을 이용하면 벡터 $\vert \pi \rangle$를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\vert \pi \rangle = \vert 0\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle\biggr) + \vert 1\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle\biggr).$$

말로 표현하면, 첫 번째 시스템(즉, 측정되는 시스템)에 대한 서로 다른 표준 기저 벡터들을 분리하고, 각각을 첫 번째 시스템의 해당 고전 상태와 일치하는 원래 벡터의 항들을 골라내어 얻은 두 번째 시스템의 표준 기저 벡터들의 선형 결합과 텐서 곱을 취한 것입니다. 잠깐 생각해보면, 어떤 벡터에서 시작하더라도 이것이 항상 가능함을 알 수 있습니다.

이와 같이 확률 벡터를 표현하면, 첫 번째 시스템의 측정 효과를 쉽게 분석할 수 있습니다. 두 결과의 확률은 괄호 안의 확률들을 합산하여 얻을 수 있습니다.

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 0) & = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\\[3mm] \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 1) & = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12} \end{aligned}$$

이 확률들의 합은 예상대로 1입니다 — 하지만 이것은 계산에 대한 유용한 검증입니다.

이제 각 가능한 결과에 대해 조건화된 $\mathsf{Y}$의 확률적 상태는, 괄호 안의 벡터들을 정규화하여 추론할 수 있습니다. 즉, 방금 계산한 해당 확률로 이 벡터들을 나누어 확률 벡터가 되도록 합니다.

따라서 $\mathsf{X}$가 $0$인 경우를 조건으로 할 때, $\mathsf{Y}$의 확률적 상태는

$$\frac{\frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle}{\frac{7}{12}} = \frac{6}{7} \vert 1 \rangle + \frac{1}{7} \vert 3 \rangle$$

가 되고, $\mathsf{X}$ 측정이 $1$인 경우를 조건으로 할 때, $\mathsf{Y}$의 확률적 상태는

$$\frac{\frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{5} \vert 1 \rangle + \frac{2}{5} \vert 2 \rangle + \frac{2}{5} \vert 3 \rangle$$

가 됩니다.

확률적 상태에 대한 연산

여러 시스템에 대한 고전 정보 논의를 마무리하면서, 확률적 상태에 있는 여러 시스템에 대한 연산을 살펴보겠습니다. 앞서와 같은 아이디어에 따라, 여러 시스템을 하나의 복합 시스템으로 통합하여 바라볼 수 있으며, 이전 단원을 참고하면 이것이 어떻게 작동하는지 알 수 있습니다.

$\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$라는 두 시스템이 있는 일반적인 설정으로 돌아가서, 복합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 대한 고전적 연산을 생각해 봅시다. 이전 단원의 논의와 위의 내용을 바탕으로, 이러한 연산은 데카르트 곱 $\Sigma\times\Gamma$의 원소들을 행과 열의 인덱스로 하는 확률적 행렬(stochastic matrix)로 표현된다는 결론을 내릴 수 있습니다.

예를 들어, $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 모두 비트라고 가정하고, 다음과 같은 설명의 연산을 생각해 보겠습니다.

연산

$\mathsf{X} = 1$이면, $\mathsf{Y}$에 NOT 연산을 수행합니다.
그렇지 않으면 아무것도 하지 않습니다.

이것은 controlled-NOT 연산이라고 알려진 결정론적 연산으로, $\mathsf{X}$가 대상 비트 $\mathsf{Y}$에 NOT 연산을 적용할지 여부를 결정하는 제어 비트 역할을 합니다. 이 연산의 행렬 표현은 다음과 같습니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

표준 기저 상태에 대한 이 연산의 작용은 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

$\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$의 역할을 바꿔, $\mathsf{Y}$를 제어 비트로, $\mathsf{X}$를 대상 비트로 삼으면, 연산의 행렬 표현은 다음과 같이 됩니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

그리고 표준 기저 상태에 대한 작용은 이렇게 됩니다.

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle \end{aligned}$$

또 다른 예시로, 다음과 같은 설명의 연산이 있습니다.

연산

다음 두 연산 중 하나를 각각 확률 $1/2$로 수행합니다.

1. $\mathsf{Y}$를 $\mathsf{X}$와 같게 설정합니다.
2. $\mathsf{X}$를 $\mathsf{Y}$와 같게 설정합니다.

이 연산의 행렬 표현은 다음과 같습니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

표준 기저 벡터에 대한 이 연산의 작용은 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\[1mm] \vert 01 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[3mm] \vert 10 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[2mm] \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle \end{aligned}$$

이 예시들에서, 우리는 단순히 두 시스템을 하나의 단일 시스템으로 바라보고 이전 단원에서와 같이 진행합니다.

시스템이 몇 개가 되어도 마찬가지입니다. 예를 들어, 세 개의 비트가 있고 이 비트들을 $8$ 모듈로 증가시키는 경우를 상상해 봅시다. 즉, 세 비트를 이진 표기법으로 $0$부터 $7$ 사이의 숫자로 인코딩하여 $1$을 더한 후, $8$로 나눈 나머지를 취하는 것입니다. 이 연산을 표현하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} & \vert 001 \rangle \langle 000 \vert + \vert 010 \rangle \langle 001 \vert + \vert 011 \rangle \langle 010 \vert + \vert 100 \rangle \langle 011 \vert\\[1mm] & \quad + \vert 101 \rangle \langle 100 \vert + \vert 110 \rangle \langle 101 \vert + \vert 111 \rangle \langle 110 \vert + \vert 000 \rangle \langle 111 \vert. \end{aligned}$$

또 다른 표현 방법으로는

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

이와 같이 쓸 수 있는데, 이는 ket 안의 $0$부터 $7$까지의 숫자가 해당 숫자의 세 비트 이진 인코딩을 나타낸다고 합의한 경우입니다. 세 번째 방법은 이 연산을 행렬로 표현하는 것입니다.

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

독립 연산

이제 여러 시스템이 있고 각 시스템에 서로 다른 연산을 독립적으로 수행한다고 가정합시다.

예를 들어, 각각 고전 상태 집합 $\Sigma$와 $\Gamma$를 가지는 두 시스템 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$의 일반적인 설정에서, $\mathsf{X}$에 하나의 연산을 수행하고 $\mathsf{Y}$에는 완전히 독립적으로 다른 연산을 수행한다고 합시다. 이전 단원에서 알 수 있듯이, 이러한 연산들은 확률적 행렬로 표현됩니다. 구체적으로, $\mathsf{X}$에 대한 연산은 행렬 $M$으로, $\mathsf{Y}$에 대한 연산은 행렬 $N$으로 표현된다고 합시다. 즉, $M$의 행과 열은 $\Sigma$의 원소들에 대응하며, 마찬가지로 $N$의 행과 열은 $\Gamma$의 원소들에 대응합니다.

자연스럽게 드는 질문은 이것입니다. $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$를 하나의 복합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$으로 함께 바라볼 때, 이 두 연산의 결합된 작용을 이 복합 시스템 위에서 나타내는 행렬은 무엇일까요? 이 질문에 답하기 위해서는 먼저 행렬의 텐서 곱을 소개해야 합니다. 행렬의 텐서 곱은 벡터의 텐서 곱과 유사하며, 유사한 방식으로 정의됩니다.

행렬의 텐서 곱

행렬

$$M = \sum_{a,b\in\Sigma} \alpha_{ab} \vert a\rangle \langle b\vert$$

과

$$N = \sum_{c,d\in\Gamma} \beta_{cd} \vert c\rangle \langle d\vert$$

의 텐서 곱 $M\otimes N$은 다음과 같이 정의되는 행렬입니다.

$$M \otimes N = \sum_{a,b\in\Sigma} \sum_{c,d\in\Gamma} \alpha_{ab} \beta_{cd} \vert ac \rangle \langle bd \vert$$

동등하게, $M$과 $N$의 텐서 곱은 다음 등식이

$$\langle ac \vert M \otimes N \vert bd\rangle = \langle a \vert M \vert b\rangle \langle c \vert N \vert d\rangle$$

모든 $a,b\in\Sigma$ 및 $c,d\in\Gamma$ 선택에 대해 성립한다는 조건으로 정의됩니다.

$M\otimes N$을 표현하는 또 다른 동등한 방법은, 이것이 다음 등식을 만족하는 유일한 행렬이라는 것입니다.

$$(M \otimes N) \bigl( \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) = \bigl(M \vert\phi\rangle\bigr) \otimes \bigl(N \vert\psi\rangle\bigr)$$

이 등식은 가능한 모든 벡터 $\vert\phi\rangle$와 $\vert\psi\rangle$의 선택에 대해 성립하며, $\vert\phi\rangle$의 인덱스는 $\Sigma$의 원소들에, $\vert\psi\rangle$의 인덱스는 $\Gamma$의 원소들에 대응한다고 가정합니다.

데카르트 곱의 원소를 순서화하는 앞서 설명한 관례에 따라, 두 행렬의 텐서 곱을 명시적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\begin{gathered} \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mm} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_{11} & \cdots & \beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \beta_{k1} & \cdots & \beta_{kk} \end{pmatrix} \hspace{6cm}\\[8mm] \hspace{1cm} = \begin{pmatrix} \alpha_{11}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{1k} & & \alpha_{1m}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{11}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{kk} & & \alpha_{1m}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{kk} \\[2mm] & \vdots & & \ddots & & \vdots & \\[2mm] \alpha_{m1}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{1k} & & \alpha_{mm}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{kk} & & \alpha_{mm}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{kk} \end{pmatrix} \end{gathered}$$

세 개 이상의 행렬의 텐서 곱도 유사한 방식으로 정의됩니다. $M_0, \ldots, M_{n-1}$이 각각 고전 상태 집합 $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$에 인덱스가 대응하는 행렬들이라면, 텐서 곱 $M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0$은 다음 조건으로 정의됩니다.

$$\langle a_{n-1}\cdots a_0 \vert M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0 \vert b_{n-1}\cdots b_0\rangle = \langle a_{n-1} \vert M_{n-1} \vert b_{n-1} \rangle \cdots\langle a_0 \vert M_0 \vert b_0 \rangle$$

이 조건은 모든 고전 상태 $a_0,b_0\in\Sigma_0,\ldots,a_{n-1},b_{n-1}\in\Sigma_{n-1}$의 선택에 대해 성립합니다. 또한, 세 개 이상의 행렬의 텐서 곱은 벡터에서 살펴본 것과 유사하게, 두 행렬의 텐서 곱을 이용하여 재귀적으로 정의할 수도 있습니다.

행렬의 텐서 곱은 *곱셈적(multiplicative)*이라고도 합니다. 왜냐하면 등식

$$(M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0)(N_{n-1}\otimes\cdots\otimes N_0) = (M_{n-1} N_{n-1})\otimes\cdots\otimes (M_0 N_0)$$

이 행렬 $M_0,\ldots,M_{n-1}$과 $N_0\ldots,N_{n-1}$의 어떤 선택에 대해서도, 곱 $M_0 N_0, \ldots, M_{n-1} N_{n-1}$이 의미가 있는 한 항상 성립하기 때문입니다.

독립 연산 (이어서)

이제 앞서 제기한 질문에 답할 수 있습니다. $M$이 $\mathsf{X}$에 대한 확률적 연산이고, $N$이 $\mathsf{Y}$에 대한 확률적 연산이며, 두 연산이 독립적으로 수행된다면, 복합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 대한 결과 연산은 텐서곱 $M\otimes N$입니다.

즉, 확률적 상태와 확률적 연산 모두에서 텐서곱은 독립성을 나타냅니다. 두 시스템 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 각각 독립적으로 확률적 상태 $\vert\phi\rangle$와 $\vert\psi\rangle$에 있다면, 복합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$는 확률적 상태 $\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle$에 있습니다. 그리고 두 시스템에 확률적 연산 $M$과 $N$을 독립적으로 적용하면, 복합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 대한 결과 작용은 연산 $M\otimes N$으로 기술됩니다.

예시를 살펴보겠습니다. 이전 강의에서 다룬 단일 비트에 대한 확률적 연산을 떠올려 보세요. 비트의 고전적 상태가 $0$이면 그대로 두고, $1$이면 $1/2$의 확률로 $0$으로 뒤집는 연산입니다. 이 연산은 다음 행렬로 표현된다는 것을 확인했습니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

이 연산을 비트 $\mathsf{X}$에 적용하고, (독립적으로) NOT 연산을 두 번째 비트 $\mathsf{Y}$에 적용하면, 복합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 대한 결합 연산의 행렬 표현은 다음과 같습니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.$$

보면 알 수 있듯이 이것은 확률적 행렬입니다. 이는 언제나 성립합니다. 두 개 이상의 확률적 행렬의 텐서곱은 항상 확률적 행렬입니다.

자주 마주치는 상황 중 하나는 한 시스템에는 어떤 연산을 수행하고 다른 시스템에는 아무것도 하지 않는 경우입니다. 이 경우에도 동일한 방식을 따르되, 아무것도 하지 않음은 항등 행렬로 표현된다는 점을 염두에 두면 됩니다. 예를 들어, 비트 $\mathsf{X}$를 $0$ 상태로 초기화하고 $\mathsf{Y}$에는 아무것도 하지 않으면, $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 대한 확률적 (실제로는 결정론적) 연산은 다음 행렬로 표현됩니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\[1mm] 0 & 1 & 0 & 1 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$