양자 정보

이제 다중 시스템 환경에서의 양자 정보로 넘어갈 준비가 되었습니다. 단일 시스템을 다룬 이전 강의와 마찬가지로, 다중 시스템에 대한 양자 정보의 수학적 설명은 확률적 경우와 상당히 유사하며, 비슷한 개념과 기법을 활용합니다.

양자 상태

다중 시스템은 하나의 복합 시스템으로 통합하여 볼 수 있습니다. 확률적 설정에서 이미 살펴본 바 있으며, 양자 설정도 이와 유사합니다. 따라서 다중 시스템의 양자 상태는 단일 시스템의 양자 상태와 마찬가지로, 복소수 항목을 가지며 유클리드 노름이 $1$인 열벡터로 표현됩니다. 다중 시스템의 경우, 이 벡터의 항목들은 각 개별 시스템의 고전 상태 집합들의 데카르트 곱에 대응됩니다. 이는 복합 시스템의 고전 상태 집합이 바로 그 데카르트 곱이기 때문입니다.

예를 들어, $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 Qubit이라면, 하나의 시스템으로 통합하여 본 두 Qubit 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 고전 상태 집합은 데카르트 곱 $\{0,1\}\times\{0,1\}$입니다. 두 이진값의 쌍을 길이 2의 이진 문자열로 표현하면, 이 데카르트 곱 집합은 $\{00,01,10,11\}$과 대응됩니다. 따라서 다음 벡터들은 모두 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 양자 상태 벡터의 예시입니다.

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

다중 시스템의 양자 상태 벡터를 표현하는 방법에는 여러 변형이 있으며, 원하는 방식을 선택해 사용할 수 있습니다. 위의 첫 번째 양자 상태 벡터에 대한 몇 가지 예시를 소개합니다.

1. $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (임의의 고전 상태 $a$, $b$에 대해)라는 사실을 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. 텐서 곱 기호를 명시적으로 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. 어떤 시스템에 대응하는지를 나타내기 위해 ket에 아래 첨자를 붙일 수 있습니다.

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

물론 양자 상태 벡터를 열벡터로 명시적으로 쓸 수도 있습니다.

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

문맥에 따라 이러한 표현 중 하나가 더 선호될 수 있지만, 모두 동일한 벡터를 나타낸다는 점에서 동등합니다.

양자 상태 벡터의 텐서 곱

확률 벡터의 경우와 마찬가지로, 양자 상태 벡터들의 텐서 곱도 양자 상태 벡터이며, 이는 시스템들 간의 독립성을 나타냅니다.

자세히 살펴보면, 두 시스템의 경우부터 시작하겠습니다. $\vert \phi \rangle$이 시스템 $\mathsf{X}$의 양자 상태 벡터이고 $\vert \psi \rangle$이 시스템 $\mathsf{Y}$의 양자 상태 벡터라고 가정합시다. 텐서 곱 $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$는 $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ 또는 $\vert \phi \otimes \psi \rangle$로도 쓸 수 있으며, 결합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 양자 상태 벡터입니다. 이러한 형태의 상태를 *곱 상태(product state)*라고 합니다.

직관적으로, 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$가 곱 상태 $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$에 있을 때, $\mathsf{X}$는 양자 상태 $\vert \phi \rangle$에, $\mathsf{Y}$는 양자 상태 $\vert \psi \rangle$에 있으며, 두 시스템의 상태는 서로 무관하다고 해석할 수 있습니다.

텐서 곱 벡터 $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$가 양자 상태 벡터임은 유클리드 노름이 텐서 곱에 대해 *곱셈성(multiplicative)*을 가진다는 사실과 일치합니다.

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

$\vert \phi \rangle$와 $\vert \psi \rangle$이 양자 상태 벡터이므로 $\|\vert \phi \rangle\| = 1$이고 $\|\vert \psi \rangle\| = 1$이며, 따라서 $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1$이므로 $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$도 양자 상태 벡터입니다.

이는 두 시스템 이상으로 일반화됩니다. $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$이 시스템 $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$의 양자 상태 벡터이면, $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$는 결합 시스템 $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$의 곱 상태를 나타내는 양자 상태 벡터입니다. 이것이 양자 상태 벡터임은 다음으로 확인할 수 있습니다.

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

얽힘 상태

다중 시스템의 모든 양자 상태 벡터가 곱 상태인 것은 아닙니다. 예를 들어, 두 Qubit의 양자 상태 벡터

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

는 곱 상태가 아닙니다. 이를 증명하기 위해 이전 절에서 확률적 상태에 사용한 것과 동일한 논증을 따를 수 있습니다. 즉, $(1)$이 곱 상태라면 다음을 만족하는 양자 상태 벡터 $\vert\phi\rangle$와 $\vert\psi\rangle$이 존재해야 합니다.

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

그런데 그렇다면 반드시

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

이어야 하므로, $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ 또는 $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (또는 둘 다)이 됩니다. 그러나 이는

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

와

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

가 모두 0이 아니라는 사실에 모순됩니다. 따라서 양자 상태 벡터 $(1)$는 두 시스템 간의 상관관계를 나타내며, 이 경우 두 시스템이 *얽혀 있다(entangled)*고 말합니다.

이 논증에서 $1/\sqrt{2}$라는 구체적인 값 자체는 중요하지 않으며, 이 값이 0이 아니라는 점만이 중요합니다. 따라서 예를 들어 양자 상태

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

도 같은 논증에 의해 곱 상태가 아닙니다.

얽힘은 양자 정보의 본질적인 특징으로, 이후 강의에서 더 자세히 다룰 예정입니다. 특히 밀도 행렬로 기술할 수 있는 잡음이 있는 양자 상태의 경우 얽힘은 복잡해질 수 있습니다(밀도 행렬은 Understanding Quantum Information and Computation 시리즈의 세 번째 강좌인 양자 정보의 일반적 형식화 과정에서 다룹니다). 그러나 양자 상태 벡터의 경우, 얽힘은 상관관계와 동등합니다. 즉, 곱 상태가 아닌 모든 양자 상태 벡터는 얽힘 상태를 나타냅니다.

이와 달리, 양자 상태 벡터

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

는 곱 상태의 예시입니다.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

따라서 이 상태는 얽힘 상태가 아닙니다.

Bell 상태

이제 다중 Qubit 양자 상태의 중요한 예시들을 살펴보겠습니다. 먼저 Bell 상태부터 시작합니다. Bell 상태는 다음 네 가지 두 Qubit 상태입니다.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Bell 상태는 John Bell의 이름을 따서 명명되었습니다. $\vert\phi^+\rangle$이 곱 상태가 아님을 보이는 논증은 나머지 Bell 상태들도 마찬가지로 곱 상태가 아님을 보여줍니다. 즉, 네 가지 Bell 상태 모두 두 Qubit 간의 얽힘을 나타냅니다.

네 가지 Bell 상태의 집합

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

은 *Bell 기저(Bell basis)*라고 합니다. 이름에 걸맞게, 이는 실제로 기저입니다. 즉, 두 Qubit의 임의의 양자 상태 벡터, 또는 두 비트의 네 가지 고전 상태에 대응하는 항목을 가진 임의의 복소 벡터는 네 가지 Bell 상태의 선형 결합으로 표현될 수 있습니다. 예를 들어,

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

GHZ 상태와 W 상태

다음으로 세 Qubit 상태의 흥미로운 예시 두 가지를 살펴보겠습니다. 첫 번째는 GHZ 상태로, 이 상태의 일부 성질을 처음 연구한 Daniel Greenberger, Michael Horne, Anton Zeilinger의 이름을 따서 명명되었습니다.

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

두 번째는 소위 W 상태입니다.

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

이 두 상태 모두 곱 상태가 아닙니다. 즉, 세 Qubit 양자 상태 벡터들의 텐서 곱으로 표현할 수 없습니다. 두 상태 모두 다중 시스템의 양자 상태에 대한 부분 측정을 다룰 때 자세히 살펴볼 예정입니다.

추가 예시

지금까지 살펴본 다중 시스템의 양자 상태 예시들은 두 개 또는 세 개의 Qubit 상태였지만, 서로 다른 고전 상태 집합을 가진 다중 시스템의 양자 상태도 고려할 수 있습니다.

예를 들어, 다음은 세 시스템 $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ $\mathsf{Z}$의 양자 상태로, $\mathsf{X}$의 고전 상태 집합은 이진 알파벳(즉 $\mathsf{X}$는 Qubit)이고, $\mathsf{Y}$와 $\mathsf{Z}$의 고전 상태 집합은 $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$입니다.

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

그리고 다음은 세 시스템 $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ $\mathsf{Z}$가 모두 동일한 고전 상태 집합 $\{0,1,2\}$를 공유하는 양자 상태의 예시입니다.

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

고전 상태 집합 $\{0,1,2\}$를 가진 시스템은 종종 trit 또는 (양자 상태에 있을 수 있다고 가정할 경우) qutrit이라고 합니다. qudit이라는 용어는 임의의 $d$에 대해 고전 상태 집합이 $\{0,\ldots,d-1\}$인 시스템을 가리킵니다.

양자 상태의 측정

단일 시스템의 양자 상태에 대한 표준 기저 측정은 이전 강의에서 다루었습니다. 고전 상태 집합 $\Sigma$를 가진 시스템이 벡터 $\vert \psi \rangle$로 표현되는 양자 상태에 있을 때, 해당 시스템을 (표준 기저 측정으로) 측정하면 각 고전 상태 $a\in\Sigma$가 확률 $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2$으로 나타납니다. 이를 통해 여러 시스템의 양자 상태에서 복합 시스템 전체를 측정하는 경우, 즉 모든 시스템을 측정하는 것과 동등한 경우에 어떤 일이 발생하는지 알 수 있습니다.

이를 정확하게 서술하기 위해, $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$이 각각 고전 상태 집합 $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$을 가진 시스템이라고 가정합니다. 그러면 $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$을 단일 시스템으로 간주할 수 있으며, 그 고전 상태 집합은 데카르트 곱 $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$이 됩니다. 이 시스템의 양자 상태가 양자 상태 벡터 $\vert\psi\rangle$로 표현되고 모든 시스템이 측정된다면, 각 가능한 결과 $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$는 확률 $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2$으로 나타납니다.

예를 들어, 시스템 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 함께 다음 양자 상태에 있다고 하면

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

두 시스템 모두를 표준 기저 측정으로 측정했을 때 결과 $(0,\heartsuit)$은 확률 $9/25$로, 결과 $(1,\spadesuit)$은 확률 $16/25$로 나타납니다.

부분 측정

이제 여러 시스템이 어떤 양자 상태에 있고, 그 중 일부 시스템만 측정하는 상황을 살펴보겠습니다. 앞에서와 마찬가지로, 각각 고전 상태 집합 $\Sigma$와 $\Gamma$를 가진 두 시스템 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$부터 시작합니다.

일반적으로 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 양자 상태 벡터는 다음 형태를 취합니다.

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

여기서 $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$는 다음을 만족하는 복소수의 모음입니다.

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

이는 $\vert \psi \rangle$가 단위 벡터임을 의미합니다.

위의 논의로부터, $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$ 모두를 측정하면 각 가능한 결과 $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$가 다음 확률로 나타남을 이미 알고 있습니다.

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

만약 첫 번째 시스템 $\mathsf{X}$만 측정한다고 가정하면, 각 결과 $a\in\Sigma$가 나타날 확률은 다음과 같아야 합니다.

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

이는 확률론적 설정에서 이미 확인한 것과 현재 물리학의 이해와 일치합니다. $\mathsf{X}$를 측정할 때 각 결과가 나타날 확률은 $\mathsf{Y}$가 함께 측정되었는지 여부에 의존할 수 없는데, 그것이 가능하다면 빛보다 빠른 통신이 허용될 것이기 때문입니다.

$\mathsf{X}$의 표준 기저 측정에서 특정 결과 $a\in\Sigma$를 얻은 경우, 단일 시스템에서와 마찬가지로 $\mathsf{X}$의 양자 상태가 $\vert a\rangle$가 되도록 바뀌리라고 자연스럽게 예상할 수 있습니다. 그렇다면 $\mathsf{Y}$의 양자 상태는 어떻게 될까요?

이 질문에 답하기 위해, 먼저 벡터 $\vert\psi\rangle$를 다음과 같이 표현합니다.

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

여기서

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

이며, 이는 각 $a\in\Sigma$에 대해 성립합니다. 여기서는 확률론적 경우와 동일한 방법론을 따라, 측정되는 시스템의 표준 기저 상태를 분리합니다. $\mathsf{X}$의 표준 기저 측정에서 각 결과 $a$가 나타날 확률은 다음과 같습니다.

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

그리고 $\mathsf{X}$의 표준 기저 측정에서 결과 $a$가 나타난 결과로, 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 양자 상태는 함께 다음과 같이 됩니다.

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

즉, 단일 시스템의 경우와 마찬가지로 상태가 "붕괴"하지만, $\mathsf{X}$의 측정이 결과 $a$를 낳았다는 것과 상태가 일치하는 데 필요한 만큼만 붕괴합니다.

비공식적으로 말하자면, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$는 $\mathsf{X}$의 측정이 결과 $a$로 귀결되는 것과 일치하는 $\vert \psi\rangle$의 성분을 나타냅니다. 그런 다음 이 벡터를 정규화합니다 — 유클리드 노름인 $\|\vert\phi_a\rangle\|$로 나누어 유클리드 노름이 $1$인 유효한 양자 상태 벡터를 얻습니다. 이 정규화 단계는 확률론적 설정에서 벡터를 항목의 합으로 나누어 확률 벡터를 얻었던 것과 유사합니다.

예로서, 이 절의 초반에 나온 두 Qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 상태를 고려해 보겠습니다.

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

첫 번째 시스템 $\mathsf{X}$가 측정될 때 어떤 일이 일어나는지 이해하기 위해, 먼저 다음과 같이 작성합니다.

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

이제 위의 설명을 바탕으로, 측정 결과가 $0$이 될 확률은

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

이 경우 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 상태는 다음이 됩니다.

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

그리고 측정 결과가 $1$이 될 확률은

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

이 경우 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 상태는 다음이 됩니다.

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

대칭적인 방식으로 동일한 기법을 사용하면, 첫 번째 시스템 대신 두 번째 시스템 $\mathsf{Y}$가 측정될 때 어떤 일이 일어나는지 설명할 수 있습니다. 이번에는 벡터 $\vert \psi \rangle$를 다음과 같이 다시 씁니다.

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

$\mathsf{Y}$의 측정에서 결과 $0$이 나타날 확률은

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

이 경우 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 상태는 다음이 됩니다.

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

그리고 측정 결과가 $1$일 확률은

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

이 경우 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 상태는 다음이 됩니다.

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

축소 양자 상태에 관한 비고

앞의 예시는 양자 정보의 단순화된 설명이 가진 한계를 보여 줍니다. 즉, 확률론적 경우에서처럼 두 시스템 중 하나(또는 여러 시스템의 진부분집합)만의 축소된(또는 주변) 양자 상태를 설명하는 방법을 제공하지 않는다는 점입니다.

구체적으로, 두 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 확률론적 상태가 확률 벡터

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

로 설명될 때, $\mathsf{X}$ 단독의 축소된 또는 주변 확률론적 상태를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

그러나 양자 상태 벡터에 대해서는 이에 상응하는 방법이 없습니다. 특히, 양자 상태 벡터

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

에 대해 벡터

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

는 일반적으로 양자 상태 벡터가 아니며, 축소된 또는 주변 상태의 개념을 제대로 나타내지 못합니다.

대신 할 수 있는 것은 밀도 행렬의 개념으로 나아가는 것인데, 이는 양자 정보의 일반적 공식화 과정에서 다룹니다. 밀도 행렬은 확률론적 설정과 유사한 방식으로 축소 양자 상태를 의미 있게 정의하는 방법을 제공합니다.

세 개 이상의 시스템에 대한 부분 측정

일부 시스템만 측정하는 세 개 이상의 시스템에 대한 부분 측정은, 측정되는 시스템과 측정되지 않는 시스템, 이렇게 두 집합으로 나눔으로써 두 시스템의 경우로 환원할 수 있습니다. 아래의 구체적인 예제가 이를 어떻게 수행할 수 있는지 보여 줍니다. 이 예제는 특히, ket에 해당 시스템의 이름을 첨자로 붙이는 방법이 유용할 수 있음을 보여 줍니다 — 이 경우에는 시스템의 순열을 간단하게 기술할 수 있기 때문입니다.

이 예제에서는 5개 시스템의 튜플 $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0)$의 양자 상태를 고려합니다. 다섯 시스템 모두 같은 고전 상태 집합 $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$를 공유합니다:

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

첫 번째와 세 번째 시스템을 측정하고 나머지 시스템은 그대로 두는 상황을 고려하겠습니다.

개념적으로, 이 상황은 두 시스템 중 하나를 측정하는 경우와 근본적인 차이가 없습니다. 다만, 측정되는 시스템과 측정되지 않는 시스템이 서로 뒤섞여 있으므로, 계산에 필요한 식을 작성할 때 장애물이 생깁니다.

위에서 제안한 것처럼, ket에 어떤 시스템을 가리키는지 나타내는 첨자를 붙이는 방법으로 진행할 수 있습니다. 이를 통해 ket의 순서를 바꿀 때도 시스템을 추적할 수 있어 수학이 단순해집니다.

먼저, 위의 양자 상태 벡터를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다:

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

달라진 것은, 각 ket에 어떤 시스템에 해당하는지를 나타내는 첨자가 붙었다는 것뿐입니다. 여기서는 $0,\ldots,4$라는 첨자를 사용했지만, 시스템 이름 자체($\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ $\mathsf{Z}$ 등)를 사용할 수도 있습니다.

이제 다음과 같이 ket의 순서를 바꾸고 항을 모을 수 있습니다:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

괄호를 사용하더라도 텐서 곱은 여전히 암묵적으로 표현되어 있습니다.

ket 순서를 바꾸는 것에 관해 명확히 하자면, 텐서 곱은 교환법칙이 성립하지 않습니다. $\vert \phi\rangle$와 $\vert \pi \rangle$가 벡터일 때, 일반적으로 $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$와 $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle$는 서로 다른 벡터이며, 이는 세 개 이상의 텐서 곱에서도 마찬가지입니다. 예를 들어, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ 와 $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ 는 서로 다른 벡터입니다. 위에서 ket의 순서를 바꾼 것이 그와 다른 의미임을 암시하는 것으로 해석해서는 안 됩니다.

오히려, 계산의 편의를 위해 시스템을 $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ 순서 대신 $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ 순서로 묶는 것이 더 편리하다는 결정을 내린 것입니다. ket의 첨자가 이 모든 것을 명확하게 해주며, 원한다면 나중에 원래의 순서로 되돌릴 수 있습니다.

이제 시스템 $\mathsf{X}_4$와 $\mathsf{X}_2$를 측정할 때, 각 결과의 (0이 아닌) 확률은 다음과 같습니다:

• 측정 결과 $(\heartsuit,\diamondsuit)$가 나올 확률은

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• 측정 결과 $(\diamondsuit,\diamondsuit)$가 나올 확률은

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• 측정 결과 $(\spadesuit,\clubsuit)$가 나올 확률은

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

예를 들어, 측정 결과가 $(\heartsuit,\diamondsuit)$이면 다섯 시스템의 결과 상태는 다음과 같이 됩니다:

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

여기서 최종 답은 원래의 시스템 순서로 되돌려 작성했는데, 이렇게 할 수 있음을 보여 주기 위해서입니다. 다른 측정 결과에 대해서도 비슷한 방식으로 상태를 구할 수 있습니다.

마지막으로, 앞서 예고한 두 가지 예제를 살펴보겠습니다. 먼저 GHZ 상태입니다:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

첫 번째 시스템만 측정하면, 결과 $0$이 확률 $1/2$로 나오고 이때 세 큐비트의 상태는 $\vert 000\rangle$이 됩니다. 또한 결과 $1$이 확률 $1/2$로 나오고 이때 세 큐비트의 상태는 $\vert 111\rangle$이 됩니다.

한편 W 상태의 경우, 마찬가지로 첫 번째 시스템만 측정한다고 가정하면, 이 상태를 다음과 같이 씁니다:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

첫 번째 큐비트를 측정했을 때 결과 0이 나올 확률은 다음과 같습니다:

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

그리고 이 결과가 나오는 조건 하에서 세 큐비트의 양자 상태는 다음과 같이 됩니다:

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

측정 결과가 1일 확률은 $1/3$이며, 이 경우 세 큐비트의 상태는 $\vert 100\rangle$이 됩니다.

W 상태는 큐비트를 어떻게 순열해도 변하지 않는다는 의미에서 대칭적입니다. 따라서 첫 번째 큐비트 대신 두 번째 또는 세 번째 큐비트를 측정하는 경우에도 비슷한 결과를 얻습니다.

유니터리 연산

원칙적으로, 어떤 시스템의 고전적 상태들에 해당하는 행과 열을 가진 유니터리 행렬은 모두 그 시스템에 대한 유효한 양자 연산을 나타냅니다. 물론 이것은 복합 시스템에도 마찬가지로 적용됩니다. 복합 시스템의 고전적 상태 집합은 각 개별 시스템의 고전적 상태 집합의 데카르트 곱이 됩니다.

두 시스템에 집중해 보면, $\mathsf{X}$가 고전적 상태 집합 $\Sigma$를 가진 시스템이고, $\mathsf{Y}$가 고전적 상태 집합 $\Gamma$를 가진 시스템이라면, 결합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 고전적 상태 집합은 $\Sigma\times\Gamma$입니다. 따라서 이 결합 시스템에 대한 양자 연산은 집합 $\Sigma\times\Gamma$에 대응하는 행과 열을 가진 유니터리 행렬로 표현됩니다. 이러한 행렬의 행과 열의 순서는 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 양자 상태 벡터에 사용되는 순서와 동일합니다.

예를 들어, $\Sigma = \{1,2,3\}$이고 $\Gamma = \{0,1\}$이라고 가정해 봅시다. 데카르트 곱 $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$의 원소를 나열하는 표준 관례는 다음과 같습니다.

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

다음은 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 대한 연산을 나타내는 유니터리 행렬의 예입니다.

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

이 유니터리 행렬은 특별한 것이 아니라 단순한 예시입니다. $U$가 유니터리임을 확인하려면 $U^{\dagger} U = \mathbb{I}$를 계산해서 확인하면 됩니다. 또는 행(또는 열)들이 정규직교(orthonormal) 관계임을 확인해도 됩니다. 이 경우에는 행렬 $U$의 특정한 형태 덕분에 확인이 비교적 간단합니다.

예를 들어, 표준 기저 벡터 $\vert 1, 1 \rangle$에 $U$를 적용하면 다음과 같습니다.

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

이는 $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$의 순서를 고려하여 $U$의 두 번째 열을 보면 알 수 있습니다.

어떤 행렬과 마찬가지로, $U$를 Dirac 표기법으로 표현할 수도 있습니다. 이 경우 $U$의 0이 아닌 20개의 원소에 대해 총 20개의 항이 필요합니다. 그러나 그 모든 항을 실제로 적어 놓으면 $6\times 6$ 행렬보다 훨씬 복잡해지고, 행렬 표현에서 분명하게 보이는 패턴이 드러나지 않을 수 있습니다. 간단히 말해, Dirac 표기법이 항상 최선의 선택은 아닙니다.

세 개 이상의 시스템에 대한 유니터리 연산도 유사한 방식으로 작동하며, 유니터리 행렬의 행과 열은 시스템들의 고전적 상태 집합의 데카르트 곱에 대응합니다. 이 단원에서 이미 하나의 예를 살펴보았습니다. 세 Qubit 연산

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

에서 ket과 bra 안의 숫자들은 3비트 이진 인코딩을 의미합니다. 이 연산은 결정론적 연산인 동시에 유니터리 연산이기도 합니다. 결정론적이면서 유니터리인 연산을 가역(reversible) 연산이라고 합니다. 이 행렬의 켤레 전치(conjugate transpose)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

이것은 원래 연산의 역(reverse), 즉 수학적 의미에서의 *역원(inverse)*을 나타냅니다. 유니터리 행렬의 켤레 전치에서 기대할 수 있는 결과입니다. 이 단원이 진행되면서 다중 시스템에 대한 유니터리 연산의 다른 예시들을 살펴볼 것입니다.

개별 시스템에서 독립적으로 수행되는 유니터리 연산

여러 개별 시스템에서 유니터리 연산이 독립적으로 수행될 때, 이 독립적인 연산들의 결합된 작용은 각 연산을 나타내는 유니터리 행렬들의 텐서 곱으로 기술됩니다. 즉, $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$이 양자 시스템이고 $U_0,\ldots, U_{n-1}$이 각 시스템에 대한 연산을 나타내는 유니터리 행렬이며, 이 연산들이 각 시스템에 독립적으로 수행될 때, $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$에 대한 결합 작용은 행렬 $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0$으로 표현됩니다. 이 점에서도 확률론적 설정과 양자 설정이 유사합니다.

앞의 단락을 읽으면 당연히 임의의 유니터리 행렬들의 텐서 곱도 유니터리라는 것을 예상할 수 있습니다. 이것은 사실이며, 다음과 같이 검증할 수 있습니다.

먼저, 켤레 전치 연산은 임의의 행렬 $M_0,\ldots,M_{n-1}$에 대해 다음을 만족합니다.

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

이는 텐서 곱의 정의와 켤레 전치의 정의로 돌아가서, 등식 양변의 각 원소가 일치함을 확인함으로써 검증할 수 있습니다. 따라서

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

행렬의 텐서 곱은 곱셈에 대해 분배 법칙이 성립하므로,

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

여기서 $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$은 시스템 $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$에 대한 항등 연산을 나타내는 행렬을 가리킵니다. 즉, 이 행렬들은 각 $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$의 고전적 상태의 수와 크기가 일치하는 단위 행렬(identity matrix)입니다.

마지막으로, 텐서 곱 $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$은 행렬 $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0$의 행(또는 열) 수의 곱에 해당하는 크기를 가진 단위 행렬과 같습니다. 이 더 큰 단위 행렬은 결합 시스템 $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$에 대한 항등 연산을 나타냅니다.

요약하면, 다음과 같은 일련의 등식이 성립합니다.

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

따라서 $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$은 유니터리임을 알 수 있습니다.

자주 등장하는 중요한 상황은 더 큰 결합 시스템 내에서 단 하나의 시스템, 또는 일부 시스템들에만 유니터리 연산이 적용되는 경우입니다. 예를 들어, $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 하나의 복합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$를 이루고 있을 때, 시스템 $\mathsf{X}$에만 연산을 수행한다고 가정해 봅시다. 구체적으로, $U$가 $\mathsf{X}$에 대한 연산을 나타내는 유니터리 행렬이라고 하면, 그 행과 열은 $\mathsf{X}$의 고전적 상태들에 대응됩니다.

$U$가 나타내는 연산을 $\mathsf{X}$에만 수행한다는 것은, $\mathsf{Y}$에는 아무것도 하지 않는다는 의미입니다. 즉, $\mathsf{X}$에는 $U$를, $\mathsf{Y}$에는 *항등 연산(identity operation)*을 독립적으로 수행하는 것과 같습니다. 다시 말해, $\mathsf{Y}$에 "아무것도 하지 않는" 것은 $\mathsf{Y}$에 항등 연산을 수행하는 것과 동등하며, 이는 단위 행렬 $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$로 표현됩니다. (여기서 첨자 $\mathsf{Y}$는 $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$가 $\mathsf{Y}$의 고전적 상태 집합의 크기에 맞는 단위 행렬임을 나타냅니다.) 따라서, $\mathsf{X}$에는 $U$를 수행하고 $\mathsf{Y}$에는 아무것도 하지 않는 경우, $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 대한 연산은 다음의 유니터리 행렬로 표현됩니다.

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

예를 들어, $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 모두 Qubit이고 $\mathsf{X}$에 하다마르(Hadamard) 연산을 수행하면서 $\mathsf{Y}$에는 아무것도 하지 않을 경우, 이는 다음 연산을 수행하는 것과 같습니다.

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

이 연산이 결합 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 적용됩니다.

마찬가지로, 유니터리 행렬 $U$로 나타내는 연산이 $\mathsf{Y}$에 적용되고 $\mathsf{X}$에는 아무것도 하지 않는 경우, $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 대한 결합 연산은 다음의 유니터리 행렬로 표현됩니다.

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

예를 들어, $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 모두 Qubit이고 $U$가 하다마르 연산인 경우, $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 대한 결합 연산은 다음 행렬로 표현됩니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

시스템들의 모든 양자 상태 벡터가 곱 상태가 아닌 것처럼, 시스템들의 집합에 대한 모든 유니터리 연산이 이처럼 유니터리 연산들의 텐서 곱으로 쓰일 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어, 두 Qubit에 대한 교환(swap) 연산이나 제어-NOT 연산은 아래에서 설명하는 바와 같이 유니터리 연산들의 텐서 곱으로 표현할 수 없습니다.

The swap operation

이번 강의를 마무리하면서 다중 시스템에 대한 유니터리 연산의 두 가지 예시를 살펴보겠습니다. 먼저 스왑(swap) 연산부터 시작합니다.

$\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 동일한 고전 상태 집합 $\Sigma$를 공유하는 시스템이라고 가정합니다. 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 대한 스왑 연산은 두 시스템의 내용을 교환하되, 그 외에는 시스템을 그대로 유지하는 연산입니다. 즉, $\mathsf{X}$는 왼쪽에, $\mathsf{Y}$는 오른쪽에 그대로 남습니다. 이 연산을 $\operatorname{SWAP}$으로 표기하며, 모든 고전 상태 $a,b\in\Sigma$에 대해 다음과 같이 작동합니다.

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

이 연산에 해당하는 행렬을 Dirac 표기법으로 나타내면 다음과 같습니다.

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

이 행렬이 $\operatorname{SWAP}$을 나타낸다는 것이 바로 명확하지 않을 수 있지만, 모든 고전 상태 $a,b\in\Sigma$에 대해 $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ 조건을 만족하는지 확인할 수 있습니다. 간단한 예로, $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 Qubit인 경우 다음과 같습니다.

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Controlled-unitary operations

이제 $\mathsf{Q}$가 Qubit이고 $\mathsf{R}$은 원하는 고전 상태 집합을 가진 임의의 시스템이라고 가정합니다. 시스템 $\mathsf{R}$에 작용하는 모든 유니터리 연산 $U$에 대해, controlled-$U$ 연산은 쌍 $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$에 대한 유니터리 연산으로 다음과 같이 정의됩니다.

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

예를 들어, $\mathsf{R}$도 Qubit이고 $\mathrm{R}$에 Pauli $X$ 연산을 적용하면 controlled-$X$ 연산은 다음과 같습니다.

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

이 연산은 강의 앞부분에서 고전 정보 및 확률적 연산의 맥락에서 이미 다룬 바 있습니다. $\mathsf{R}$에 대한 Pauli $X$ 연산을 $Z$ 연산으로 대체하면 다음과 같은 연산이 됩니다.

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

대신 $\mathsf{R}$을 두 Qubit으로 취하고 $U$를 두 Qubit 간의 스왑 연산으로 취하면 다음과 같은 연산이 됩니다.

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

이 연산은 Fredkin 연산 또는 더 흔히 Fredkin Gate라고도 불립니다. 표준 기저 상태에 대한 작용은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

마지막으로, controlled-controlled-NOT 연산은 $CCX$로 표기할 수 있으며 Toffoli 연산 또는 Toffoli Gate라고 불립니다. 행렬 표현은 다음과 같습니다.

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Dirac 표기법으로는 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$