충실도

이 단원에서는 양자 상태 간의 *충실도(fidelity)*에 대해 논의합니다. 충실도는 두 상태의 유사성 또는 얼마나 "겹치는지"를 측정하는 척도입니다.

두 개의 양자 상태 벡터가 주어졌을 때, 이 양자 상태 벡터와 관련된 순수 상태 간의 충실도는 양자 상태 벡터 간 내적의 절댓값과 같습니다. 이는 유사성을 측정하는 기본 방법을 제공합니다: 결과는 $0$과 $1$ 사이의 값으로, 값이 클수록 유사성이 높음을 나타냅니다. 특히, 직교 상태(정의상)의 경우 값은 0이고, 전역 위상까지 동등한 상태의 경우 값은 $1$입니다.

직관적으로 말하면, 충실도는 양자 상태 벡터에서 밀도 행렬로 확장되는 이 기본 유사성 측정의 확장으로 볼 수 있습니다.

충실도의 정의

충실도의 정의부터 시작하는 것이 적절합니다. 처음에는 다음 정의가 이상하거나 신비로워 보일 수 있으며, 아마도 다루기 쉽지 않을 수도 있습니다. 그러나 이것이 정의하는 함수는 많은 흥미로운 성질과 여러 대안적 공식을 가지고 있어, 처음 보기에는 생각보다 훨씬 다루기 쉬운 것으로 밝혀집니다.

정의

$\rho$와 $\sigma$를 같은 시스템의 양자 상태를 나타내는 밀도 행렬이라고 합시다. $\rho$와 $\sigma$ 사이의 충실도는 다음과 같이 정의됩니다.

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

비고

이것이 일반적인 정의이지만, 충실도가 여기서 정의된 양의 제곱으로 정의되는 것도 일반적이며, 이는 루트 충실도라고 불립니다. 어느 정의가 맞거나 틀린 것은 아닙니다. 본질적으로 선택의 문제입니다. 그럼에도 불구하고, 어느 정의가 사용되고 있는지 항상 주의해서 이해하거나 명확히 해야 합니다.

정의의 공식을 이해하기 위해, 먼저 $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$는 양의 준정부호 행렬임을 주목하세요:

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

$M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$의 경우입니다. 모든 양의 준정부호 행렬처럼, 이 양의 준정부호 행렬은 유일한 양의 준정부호 제곱근을 가지며, 이의 대각합이 충실도입니다.

모든 정사각 행렬 $M$에 대해, 두 양의 준정부호 행렬 $M^{\dagger} M$과 $M M^{\dagger}$의 고유값은 항상 같으며, 따라서 이들 행렬의 제곱근에 대해서도 마찬가지입니다. $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$를 선택하고 정사각 행렬의 대각합이 고유값의 합이라는 사실을 사용하면, 우리는 다음을 얻습니다.

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

따라서 정의로부터 즉시 명확하지는 않지만, 충실도는 두 인수에 대해 대칭입니다.

대각합 노름으로 표현한 충실도

충실도를 표현하는 동등한 방법이 있습니다:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

여기에서 우리는 이전 단원에서 상태 판별의 맥락에서 만난 대각합 노름을 봅니다. (반드시 정사각일 필요는 없는) 행렬 $M$의 대각합 노름은 다음과 같이 정의될 수 있습니다:

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

이 정의를 행렬 $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$에 적용하면 정의의 공식을 얻습니다.

(정사각) 행렬 $M$의 대각합 노름을 표현하는 다른 방법은 다음 공식입니다.

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

여기서 최댓값은 $M$과 같은 행과 열의 개수를 가지는 모든 유니터리 행렬 $U$에 대해서입니다. 이 공식을 현재의 상황에 적용하면 충실도의 다른 표현이 드러납니다.

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

순수 상태에 대한 충실도

충실도 정의에 대한 마지막 요점은 모든 순수 상태가 (밀도 행렬로서) 자신의 제곱근과 같다는 것이며, 이는 상태 중 하나 또는 둘 다가 순수일 때 충실도 공식을 상당히 단순화할 수 있습니다. 특히, 두 상태 중 하나가 순수이면 다음 공식을 가집니다.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

두 상태 모두 순수이면, 공식은 섹션 시작 부분에서 언급한 것처럼 해당 양자 상태 벡터의 내적의 절댓값으로 단순화됩니다.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

충실도의 기본 성질

충실도는 많은 놀라운 성질과 여러 대안적 공식을 가지고 있습니다. 여기에는 증명 없이 나열된 몇 가지 기본 성질이 있습니다.

1. 같은 크기의 임의의 두 밀도 행렬 $\rho$와 $\sigma$에 대해, 충실도 $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$는 0과 1 사이에 있습니다: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$인 경우는 $\rho$와 $\sigma$가 직교하는 상(image)을 가질 때(오류 없이 판별될 수 있음), 그리고 $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$인 경우는 $\rho = \sigma$일 때입니다.
2. 충실도는 곱셈적이며, 이는 두 곱 상태 간의 충실도가 개별 충실도의 곱과 같다는 의미입니다: $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$
3. 상태 간의 충실도는 채널의 작용 하에서 감소하지 않습니다. 즉, $\rho$와 $\sigma$가 밀도 행렬이고 $\Phi$가 이 두 상태를 입력으로 받을 수 있는 채널이면, 다음이 반드시 참입니다. $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$
4. 푹스-반 더 그라프 부등식은 충실도와 대각합 거리 사이의 밀접한(정확하지는 않은) 관계를 확립합니다: 임의의 두 상태 $\rho$와 $\sigma$에 대해 우리는 다음을 가집니다. $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

최종 성질은 그림의 형태로 표현될 수 있습니다:

구체적으로, 같은 시스템의 상태 $\rho$와 $\sigma$의 임의의 선택에 대해, $y$축을 $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$에서 교차하는 수평선과 $x$축을 $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$에서 교차하는 수직선이 아래로는 직선 $y = 1-x$, 위로는 단위원으로 경계되는 회색 영역 내에서 교차해야 합니다. 실무적 관점에서 이 그림의 가장 흥미로운 영역은 회색 영역의 왼쪽 위 모서리입니다: 두 상태 간의 충실도가 1에 가까우면, 그들의 대각합 거리는 0에 가까우며, 그 반대도 마찬가지입니다.

부드러운 측정 보조정리

다음으로 우리는 *부드러운 측정 보조정리(gentle measurement lemma)*로 알려진 간단하지만 중요한 사실을 살펴봅시다. 이는 충실도를 비파괴 측정과 연결하는 매우 유용한 보조정리입니다. 또한 충실도에 대한 겉으로는 투박한 정의가 실제로 보조정리를 매우 쉽게 증명할 수 있다는 점에서도 주목할 가치가 있습니다.

설정은 다음과 같습니다. $\mathsf{X}$를 상태 $\rho$에 있는 시스템이라 하고 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$를 $\mathsf{X}$의 일반 측정을 나타내는 양의 준정부호 행렬들의 모음이라고 합시다. 또한 이 측정이 시스템 $\mathsf{X}$가 상태 $\rho$에 있을 때 수행된다면, 결과 중 하나가 매우 가능성이 높다고 가정합시다. 구체적으로, 가능성 높은 측정 결과가 0이라고 가정하고, 특히 다음을 가정합시다:

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

작은 양의 실수 $\varepsilon > 0$에 대해.

부드러운 측정 보조정리가 진술하는 것은, 이 가정들 하에서, 나이마르크 정리를 통해 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$에서 얻은 비파괴 측정이 가능성 높은 측정 결과 0이 관찰된 경우 $\rho$에 작은 장애만을 야기한다는 것입니다.

더 구체적으로, 보조정리는 충실도 제곱이 $\rho$와 비파괴 측정에서 얻은 상태 사이에서 0의 결과가 조건부일 때 1보다 크다고 진술합니다.

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

이를 증명하기 위해 측정에 대한 기본 사실이 필요합니다. 측정 행렬 $P_0, \ldots, P_{m-1}$은 양의 준정부호이고 항등원으로 합산되어, 우리는 $P_0$의 모든 고유값이 0과 1 사이의 실수임을 결론지을 수 있습니다. 이는 임의의 단위 벡터 $\vert\psi\rangle$에 대해, 값 $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$이 각 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$에 대해 음이 아닌 실수(왜냐하면 각 $P_a$는 양의 준정부호)이고, 이들 숫자가 합해져 1이 된다는 사실로부터 따릅니다.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

따라서 $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$는 항상 0과 1 사이의 실수이며, 이는 $P_0$의 모든 고유값이 0과 1 사이의 실수임을 의미합니다. 왜냐하면 우리는 관심 있는 고유값에 해당하는 단위 고유벡터로 구체적으로 $\vert\psi\rangle$를 선택할 수 있기 때문입니다.

이 관찰로부터 우리는 모든 밀도 행렬 $\rho$에 대해 다음의 부등식을 결론지을 수 있습니다.

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

더 자세히, 분광 분해로부터 시작하면

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

우리는 다음을 결론짓습니다:

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

$\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$가 음이 아닌 실수이고 각 $k = 0,\ldots,n-1$에 대해 $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$이라는 사실로부터입니다. (0과 1 사이의 숫자들을 제곱하는 것은 절대 이들을 더 크게 할 수 없습니다.)

이제 충실도를 평가하고 우리의 부등식을 사용하여 부드러운 측정 보조정리를 증명할 수 있습니다. 먼저 우리가 관심 있는 표현을 단순화해 봅시다.

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

이들은 모두 등식임을 주목하세요. 우리는 이 시점에서 우리의 부등식(또는 다른 부등식)을 사용하지 않았으므로, 우리는 충실도에 대한 정확한 표현을 가지고 있습니다. 이제 우리는 우리의 부등식을 사용하여 다음을 결론지을 수 있습니다.

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

따라서 양쪽을 제곱하면,

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

우흘만의 정리

단원을 마치기 위해, 우리는 우흘만의 정리를 살펴볼 것입니다. 이는 충실도에 대한 기본적인 사실로, 이를 정화(purification)의 개념과 연결합니다. 정리가 간단히 말하는 것은 임의의 두 양자 상태 간의 충실도는 이들 상태의 두 정화 간의 최대 내적(절댓값)과 같다는 것입니다.

정리

우흘만의 정리: $\rho$와 $\sigma$를 시스템 $\mathsf{X}$의 상태를 나타내는 밀도 행렬이라 하고, $\mathsf{Y}$를 $\mathsf{X}$만큼 이상의 고전 상태를 가지는 시스템이라고 합시다. $\rho$와 $\sigma$ 사이의 충실도는 다음과 같이 주어집니다:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

여기서 최댓값은 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 모든 양자 상태 벡터 $\vert\phi\rangle$과 $\vert\psi\rangle$에 대해 취해집니다.

우리는 정화의 유니터리 동등성을 사용하여 이 정리를 증명할 수 있습니다. 그러나 그것이 완전히 직접적인 것은 아니며 우리는 과정에서 한 가지 기법을 사용할 것입니다.

시작하기 위해, 두 밀도 행렬 $\rho$와 $\sigma$의 분광 분해를 생각해 봅시다.

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

두 모음 $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$과 $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$은 각각 $\rho$와 $\sigma$의 고유벡터들의 정규직교 기저이며, $p_0,\ldots,p_{n-1}$과 $q_0,\ldots,q_{n-1}$은 해당하는 고유값들입니다.

또한 우리는 $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$과 $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$을 $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$과 $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle$의 각 성분의 복소 켤레를 취하여 얻은 벡터들이라고 정의할 것입니다. 즉, 임의의 벡터 $\vert w\rangle$에 대해, 우리는 각 $c\in\{0,\ldots,n-1\}$에 대해 다음 등식에 따라 $\vert\overline{w}\rangle$을 정의할 수 있습니다.

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

임의의 두 벡터 $\vert u\rangle$과 $\vert v\rangle$에 대해 우리는 $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle$임을 주목하세요. 더 일반적으로, 임의의 정사각 행렬 $M$에 대해 우리는 다음 공식을 가집니다.

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

$\vert u\rangle$과 $\vert v\rangle$이 직교할 필요충분조건은 $\vert \overline{u}\rangle$과 $\vert \overline{v}\rangle$이 직교하는 것이고, 따라서 $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$과 $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ 모두 정규직교 기저입니다.

이제 다음 두 벡터 $\vert\phi\rangle$과 $\vert\psi\rangle$을 고려해 봅시다. 이들은 각각 $\rho$와 $\sigma$의 정화입니다.

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

이는 앞서 언급한 기법입니다. 이 시점에서 이들이 $\rho$와 $\sigma$의 정화로 이러한 특정 선택을 하는 것이 좋은 아이디어라는 것을 명시적으로 나타내는 것은 아무것도 없지만, 그들은 유효한 정화이며, 복소 켤레들이 우리가 필요한 방식으로 대수가 작동하게 할 것입니다.

정화의 유니터리 동등성에 의해, 우리는 시스템 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 대해 $\rho$의 모든 정화가 어떤 유니터리 행렬 $U$에 대해 $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ 형태여야 하며, 마찬가지로 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 대해 $\sigma$의 모든 정화가 어떤 유니터리 행렬 $V$에 대해 $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ 형태여야 함을 알 수 있습니다. 이러한 두 정화의 내적은 다음과 같이 단순화될 수 있습니다.

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

$U$와 $V$가 모든 가능한 유니터리 행렬에 걸쳐 있을 때, 행렬 $(U^{\dagger} V)^T$도 모든 가능한 유니터리 행렬에 걸쳐 있습니다. 따라서 $\rho$와 $\sigma$의 두 정화의 내적의 절댓값을 최대화하면 다음 등식을 얻습니다.

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

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