소개

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"양자 정보의 기초" 강좌에서는 양자 상태가 양자 상태 벡터로 표현되고, 연산이 유니터리 행렬로 표현되는 등의 양자 정보 프레임워크에 대해 논의하였습니다. 그 후 "양자 알고리즘의 기본" 강좌에서 이 프레임워크를 사용하여 양자 알고리즘을 기술하고 분석하였습니다.

실제로 양자 정보에는 두 가지 일반적인 수학적 기술 방식이 있으며, "양자 정보의 기초"에서 소개된 방식이 둘 중 더 단순한 것입니다. 이러한 이유로 저희는 이를 *양자 정보의 단순화된 정식화(simplified formulation)*라고 부르겠습니다.

이번 강의에서는 두 번째 기술 방식인 *양자 정보의 일반 정식화(general formulation)*에 대한 탐구를 시작하겠습니다. 이는 당연히 단순화된 정식화와 일관되지만, 주목할 만한 장점을 제공합니다. 예를 들어, 양자 상태의 불확실성을 기술하고 양자 계산에 대한 잡음의 영향을 모델링하는 데 사용될 수 있습니다. 이는 양자 정보 이론, 양자 암호학, 그리고 양자 정보와 관련된 다른 주제의 기초를 제공하며, 또한 수학적 관점에서도 상당히 아름답습니다.

양자 정보의 일반 정식화에서, 양자 상태는 단순화된 정식화에서처럼 벡터로 표현되지 않고, 대신 *밀도 행렬(density matrices)*이라고 불리는 특별한 부류의 행렬로 표현됩니다. 밀도 행렬의 사용을 동기화하는 몇 가지 핵심 사항은 다음과 같습니다.

• 밀도 행렬은 양자 상태 벡터보다 더 넓은 부류의 양자 상태를 표현할 수 있습니다. 여기에는 잡음의 영향을 받은 양자 시스템의 상태나 양자 상태의 무작위적 선택과 같이 실제 환경에서 발생하는 상태가 포함됩니다.

• 밀도 행렬은 시스템의 고립된 부분의 상태, 예를 들어 무시하고자 하는 다른 시스템과 얽혀 있는 한 시스템의 상태와 같은 것을 기술할 수 있게 해 줍니다. 이는 양자 정보의 단순화된 정식화에서는 쉽게 이루어지지 않습니다.

• 고전적(확률론적) 상태 또한 밀도 행렬로 표현될 수 있으며, 구체적으로 대각 행렬인 밀도 행렬로 표현됩니다. 이는 양자 정보와 고전 정보를 하나의 수학적 프레임워크 안에서 함께 기술할 수 있게 해 주며, 고전 정보가 본질적으로 양자 정보의 특수한 경우가 되므로 중요합니다.

얼핏 보기에는, 상태가 아니라 동작이나 연산을 더 일반적으로 나타내는 행렬로 양자 상태를 표현하는 것이 기이하게 보일 수 있습니다. 예를 들어, 유니터리 행렬은 양자 정보의 단순화된 정식화에서 양자 연산을 기술하고, 확률 행렬(stochastic matrices)은 고전 정보의 맥락에서 확률적 연산을 기술합니다. 이와 대조적으로, 밀도 행렬은 비록 행렬이지만 동작이나 연산이 아닌 상태를 나타냅니다.

그럼에도 불구하고, 밀도 행렬이 (모든 행렬과 마찬가지로) 선형 사상과 연관될 수 있다는 사실은 매우 중요한 측면입니다. 예를 들어, 밀도 행렬의 *고윳값(eigenvalues)*은 그것이 나타내는 상태에 내재된 무작위성 또는 불확실성을 기술합니다.

강의 영상

다음 영상에서 John Watrous가 이번 강의의 밀도 행렬에 관한 내용을 단계별로 안내해요. 또는, 이 강의의 YouTube 영상을 별도의 창에서 열어 보실 수 있습니다. 이 강의의 슬라이드를 다운로드하실 수 있습니다.