Bloch 구면

Qubit 상태를 기하학적으로 표현하는 유용한 방법으로 Bloch 구면이라는 것이 있어요. 이 방법은 매우 편리하지만, 안타깝게도 Qubit에 대해서만 작동해요. 시스템의 고전 상태가 세 개 이상일 경우 유사한 표현은 더 이상 구면 형태의 객체에 대응하지 않아요.

구면 위의 점으로서의 qubit 상태

Qubit의 양자 상태 벡터 $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$을 생각해 보는 것부터 시작해요. 모든 qubit 상태 벡터는 전역 위상을 제외하고 $\alpha \geq 0$인 벡터와 동등하므로, $\alpha$가 음이 아닌 실수인 벡터로 한정해서 살펴볼 수 있어요. 이를 통해 다음과 같이 쓸 수 있어요.

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

여기서 $\theta \in [0,\pi]$, $\phi\in[0,2\pi)$는 실수예요. $\theta$의 범위를 $0$에서 $\pi$까지로 하고 사인과 코사인의 인수에서 $2$로 나누는 이유는 이것이 이러한 종류의 벡터를 매개변수화하는 관례적인 방법이며, 나중에 설명이 좀 더 간단해지기 때문이에요.

이제 주어진 양자 상태 벡터 $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$에 대해 $\theta$와 $\phi$라는 수가 유일하게 결정되는 것은 아니지만, 거의 그렇다고 할 수 있어요. 구체적으로 $\beta = 0$이면 $\theta = 0$이고, $\phi$가 어떤 값을 취하든 차이가 없으므로 임의로 선택할 수 있어요. 마찬가지로 $\alpha = 0$이면 $\theta = \pi$이고, 이 경우에도 $\phi$는 무관해요 (우리의 상태는 전역 위상을 제외하고 임의의 $\phi$에 대해 $e^{i\phi}\vert 1\rangle$과 동등하기 때문이에요). 그러나 $\alpha$와 $\beta$ 모두 $0$이 아니면, $\vert\psi\rangle$이 전역 위상을 제외하고 $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$과 동등하게 되는 $(\theta,\phi)$ 쌍의 선택은 유일해요.

다음으로 이 상태의 밀도 행렬 표현을 살펴보겠습니다.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

몇 가지 삼각함수 항등식을 사용할 수 있어요.

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

또한 $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi)$ 공식을 사용하여 밀도 행렬을 다음과 같이 단순화할 수 있어요.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

이로써 이 밀도 행렬을 Pauli 행렬의 선형 결합으로 쉽게 표현할 수 있어요.

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

구체적으로 다음과 같이 결론내릴 수 있어요.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

이 표현의 분자에 있는 $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ $\sigma_z$의 계수는 모두 실수이므로, 이들을 모아서 일반적인 3차원 유클리드 공간의 벡터를 이룰 수 있어요.

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

사실 이것은 단위 벡터예요. 구면 좌표를 사용하면 $(1,\theta,\phi)$로 쓸 수 있어요. 첫 번째 좌표인 $1$은 반지름 또는 방사 거리(이 경우 항상 $1$)를 나타내며, $\theta$는 극각을, $\phi$는 방위각을 나타내요.

말로 표현하면, 구면을 지구라는 행성에 비유할 때 극각 $\theta$는 기술하려는 점에 도달하기 위해 북극에서 남쪽으로 회전하는 정도이며 $0$에서 $\pi = 180^{\circ}$까지의 범위를 가지고, 방위각 $\phi$는 본초 자오선에서 동쪽으로 회전하는 정도이며 $0$에서 $2\pi = 360^{\circ}$까지의 범위를 가집니다. 이는 본초 자오선을 구면의 한 극에서 다른 극으로 양의 $x$축을 통과하는 곡선으로 정의한다는 가정에 기반합니다.

구면 위의 모든 점은 이러한 방식으로 기술할 수 있어요. 즉, Qubit의 가능한 모든 순수 상태에 걸쳐 살펴볼 때 얻어지는 점들은 정확히 $3$차원 실수 공간의 구면에 대응해요. (이 구면은 보통 단위 $2$-구면이라고 불리는데, 이 구면의 표면이 2차원이기 때문이에요.)

단위 $2$-구면 위의 점을 Qubit의 순수 상태와 연관시키면, 이러한 상태의 Bloch 구면 표현을 얻게 됩니다.

여섯 가지 중요한 예시

1. 표준 기저 $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}$. 상태 $\vert 0\rangle$부터 시작해 볼게요. 이는 밀도 행렬로 다음과 같이 쓸 수 있어요.

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   분자에서 Pauli 행렬의 계수를 모아 보면, 단위 $2$-구면 위의 대응하는 점을 직교 좌표로 나타내면 $(0,0,1)$임을 알 수 있어요. 구면 좌표로는 이 점이 $(1,0,\phi)$이며, 여기서 $\phi$는 임의의 각이 될 수 있어요. 이는 다음 표현과 일치해요.

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   이 식도 임의의 $\phi$에 대해 성립합니다. 직관적으로 말하면, 극각 $\theta$가 $0$이므로 Bloch 구면의 북극에 있으며, 이 지점에서는 방위각이 무관합니다.

   비슷한 맥락으로, 상태 $\vert 1\rangle$에 대한 밀도 행렬은 다음과 같이 쓸 수 있어요.

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   이번에는 직교 좌표가 $(0,0,-1)$이에요. 구면 좌표로는 이 점이 $(1,\pi,\phi)$이며, 여기서 $\phi$는 임의의 각이 될 수 있어요. 이 경우 극각이 $\pi$까지 도달하므로 남극에 있으며, 여기서도 방위각은 다시 무관해요.

2. 기저 $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}$. 이 상태에 대응하는 밀도 행렬은 다음과 같은 표현을 가집니다.

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   단위 $2$-구면 위의 대응하는 점의 직교 좌표는 각각 $(1,0,0)$과 $(-1,0,0)$이며, 구면 좌표는 각각 $(1,\pi/2,0)$과 $(1,\pi/2,\pi)$입니다.

   말로 표현하면, $\vert +\rangle$은 양의 $x$축이 단위 $2$-구면과 교차하는 점에 해당하고, $\vert -\rangle$은 음의 $x$축이 단위 $2$-구면과 교차하는 점에 해당해요. 더 직관적으로 말하면, $\vert +\rangle$은 Bloch 구면의 적도가 본초 자오선과 만나는 점이고, $\vert - \rangle$은 구면 반대편의 적도 위에 있어요.

3. 기저 $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}$. 이 단원의 앞부분에서 보았듯이, 이 두 상태는 다음과 같이 정의돼요.

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   이번에는 다음과 같은 표현을 가집니다.

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   단위 $2$-구면 위의 대응하는 점의 직교 좌표는 각각 $(0,1,0)$과 $(0,-1,0)$이며, 구면 좌표는 각각 $(1,\pi/2,\pi/2)$과 $(1,\pi/2,3\pi/2)$입니다.

   말로 표현하면, $\vert {+i} \rangle$은 양의 $y$축이 단위 $2$-구면과 교차하는 점에 해당하고, $\vert {-i} \rangle$은 음의 $y$축이 단위 $2$-구면과 교차하는 점에 해당합니다.

이 시리즈 전반에 걸쳐, 그리고 이 단원의 앞부분에서도 때때로 등장한 또 다른 양자 상태 벡터 부류가 있어요.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(for $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

이러한 각 상태의 밀도 행렬 표현은 다음과 같습니다.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

다음 그림은 $\alpha$의 몇 가지 선택에 대해 Bloch 구면 위의 대응하는 점을 보여줍니다.

점의 볼록 결합

밀도 행렬에 대해 이미 논의한 바와 유사하게, Bloch 구면 위의 점들의 볼록 결합을 취해서 qubit 밀도 행렬의 표현을 얻을 수 있어요. 일반적으로 이는 Bloch 구면의 내부에 있는 점들을 만들어내며, 이는 순수하지 않은 상태의 밀도 행렬을 표현해요. 때때로 qubit 밀도 행렬의 표현으로서 Bloch 구면 내부의 점들이 포함된다는 것을 명시적으로 나타내고 싶을 때 Bloch 공이라는 용어를 사용해요.

예를 들어, Qubit의 완전 혼합 상태를 표현하는 밀도 행렬 $\frac{1}{2}\mathbb{I}$는 다음과 같은 두 가지 다른 방식으로 쓸 수 있음을 보았습니다.

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{and}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

또한

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

이렇게도 쓸 수 있으며, 더 일반적으로는 임의의 두 직교하는 qubit 상태 벡터(Bloch 구면 위의 두 대척점에 항상 대응)를 사용할 수 있어요. Bloch 구면 위의 대응하는 점들을 유사한 방식으로 평균내면 같은 점을 얻게 되는데, 이 경우에는 구면의 중심이에요. 이는 다음과 같은 관찰과 일치해요.

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

즉, 직교 좌표 $(0,0,0)$을 얻습니다.

Bloch 구면 점의 볼록 결합에 관한 또 다른 예시는 이전 소절에서 논의한 것입니다.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

다음 그림은 이 밀도 행렬을 순수 상태의 볼록 결합으로 얻는 두 가지 다른 방법을 보여줍니다.