밀도 행렬 기초

밀도 행렬이 수학적으로 무엇인지 설명하는 것부터 시작하고, 그 다음으로 몇 가지 예시를 살펴보겠습니다. 그 후, 밀도 행렬이 어떻게 작동하는지, 그리고 양자 정보의 단순화된 형식에서 양자 상태 벡터와 어떻게 관련되는지에 관한 몇 가지 기본적인 측면을 논의하겠습니다.

정의

$\mathsf{X}$라는 이름의 양자 시스템이 있다고 가정하고, $\Sigma$를 이 시스템의 (유한하고 비어 있지 않은) 고전적 상태 집합이라고 합시다. 여기서는 "양자 정보의 기초" 강좌에서 사용된 명명 규칙을 따르고 있으며, 기회가 있을 때마다 계속해서 그렇게 할 것입니다.

양자 정보의 일반적인 형식에서, 시스템 $\mathsf{X}$의 양자 상태는 밀도 행렬 $\rho$로 기술되며, 이 행렬의 원소는 복소수이고 그 인덱스(행과 열 모두에 대해)는 고전적 상태 집합 $\Sigma$와 대응되도록 배치되어 있습니다. 소문자 그리스 문자 $\rho$는 밀도 행렬의 이름으로 가장 흔히 선택되는 문자이지만, $\sigma$와 $\xi$ 역시 자주 사용됩니다.

다음은 Qubit의 상태를 기술하는 밀도 행렬의 몇 가지 예시입니다:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

$\rho$가 밀도 행렬이라는 것은 다음 두 가지 조건이 모두 만족된다는 뜻이며, 이에 관해서는 곧 설명하겠습니다:

1. 단위 대각합: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$
2. 양의 준정부호성: $\rho \geq 0.$

행렬의 대각합

밀도 행렬에 대한 첫 번째 조건은 행렬의 *대각합(trace)*을 가리킵니다. 이는 모든 정사각 행렬에 대해 정의되는 함수로, 대각 원소의 합으로 나타납니다:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

대각합은 선형 함수입니다. 크기가 같은 두 정사각 행렬 $A$와 $B$, 그리고 임의의 두 복소수 $\alpha$와 $\beta$에 대해, 다음 등식은 항상 성립합니다.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

대각합은 매우 중요한 함수이며 이에 관해 훨씬 많은 이야기를 할 수 있지만, 필요한 시점이 올 때까지 더 이상의 설명은 미루겠습니다.

양의 준정부호 행렬

두 번째 조건은 양의 준정부호라는 행렬의 성질을 가리키는데, 이는 양자 정보 이론을 비롯한 많은 다른 분야에서 기본적인 개념입니다. 행렬 $P$가 양의 준정부호라 함은 다음을 만족하는 행렬 $M$이 존재한다는 것입니다.

$$P = M^{\dagger} M.$$

여기서 $M$이 $P$와 같은 크기의 정사각 행렬이어야 한다고 요구하거나, 정사각이 아닌 행렬을 허용하더라도 동일한 행렬들의 부류를 얻게 됩니다.

이 조건을 정의하는 여러 가지 대안적이지만 동치인 방식이 있으며, 다음과 같은 것들이 포함됩니다:

• 행렬 $P$가 양의 준정부호일 필요충분조건은 $P$가 에르미트 행렬(즉, 자신의 켤레 전치와 같은 행렬)이며 그 모든 고윳값이 음이 아닌 실수라는 것입니다. 행렬이 에르미트이고 모든 고윳값이 음이 아님을 확인하는 것은 양의 준정부호인지 검증하는 간단한 계산적 방법입니다.

• 행렬 $P$가 양의 준정부호일 필요충분조건은 $P$의 행과 열과 같은 인덱스를 가진 모든 복소 벡터 $\vert\psi\rangle$에 대해 $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$인 것입니다.

양의 준정부호 행렬을 직관적으로 생각하는 한 가지 방법은 이들이 음이 아닌 실수의 행렬 유사체와 같다는 것입니다. 즉, 양의 준정부호 행렬은 복소 정사각 행렬에 대해, 음이 아닌 실수가 복소수에 대한 것과 같은 관계를 가집니다. 예를 들어, 복소수 $\alpha$가 음이 아닌 실수일 필요충분조건은 어떤 복소수 $\beta$에 대해

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

이 성립하는 것이며, 이는 행렬을 스칼라로 바꾼 경우의 양의 준정부호성 정의와 일치합니다. 행렬은 일반적으로 스칼라보다 복잡한 대상이지만, 그럼에도 이것은 양의 준정부호 행렬을 이해하는 유용한 방식입니다.

이것이 $P$가 양의 준정부호임을 나타내는 흔한 표기 $P\geq 0$을 설명해 줍니다. 특히 이 맥락에서 $P\geq 0$은 $P$의 각 원소가 음이 아니라는 뜻이 아니라는 점에 유의합니다. 음의 원소를 가지는 양의 준정부호 행렬도 존재하고, 반대로 모든 원소가 양수이지만 양의 준정부호가 아닌 행렬도 존재합니다.

밀도 행렬의 해석

이 시점에서는 밀도 행렬의 정의가 다소 자의적이고 추상적으로 보일 수 있는데, 아직 이 행렬이나 그 원소에 어떤 의미도 부여하지 않았기 때문입니다. 밀도 행렬이 어떻게 작동하고 해석될 수 있는지는 이 수업이 진행되면서 명확해지겠지만, 당분간은 밀도 행렬의 원소를 다음과 같은 (다소 비공식적인) 방식으로 생각하는 것이 도움이 될 수 있습니다.

• 밀도 행렬의 대각 원소는 표준 기저 측정을 수행했을 때 각 고전적 상태가 나타날 확률을 알려줍니다. 따라서 이 원소들을 각 고전적 상태에 연관된 "가중치" 또는 "가능성"을 기술하는 것으로 생각할 수 있습니다.

• 밀도 행렬의 비대각 원소는 해당 원소에 대응하는 두 고전적 상태(즉, 행에 대응하는 상태와 열에 대응하는 상태)가 양자 중첩되어 있는 정도와, 그들 사이의 상대적 위상을 기술합니다.

양자 상태가 밀도 행렬로 표현되어야 한다는 것은 선험적으로 결코 자명하지 않습니다. 실제로, 양자 상태를 밀도 행렬로 표현하기로 한 선택이 양자 정보의 전체 수학적 기술로 자연스럽게 이어진다는 어떤 의미가 있습니다. 양자 정보에 관한 다른 모든 것은 사실상 이 하나의 선택으로부터 꽤 논리적으로 따라 나옵니다!

양자 상태 벡터와의 연결

$\mathsf{X}$의 양자 상태를 기술하는 양자 상태 벡터 $\vert\psi\rangle$는 유클리드 노름이 $1$인 열 벡터이며, 그 원소는 고전적 상태 집합 $\Sigma$와 대응되도록 배치되어 있음을 상기합시다. 같은 상태의 밀도 행렬 표현 $\rho$는 다음과 같이 정의됩니다.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

분명히 하자면, 우리는 열 벡터에 행 벡터를 곱하고 있으므로, 그 결과는 행과 열이 $\Sigma$에 대응되는 정사각 행렬입니다. 이러한 형식의 행렬은 밀도 행렬일 뿐 아니라, 항상 사영이며 계수(rank)가 $1$입니다.

예를 들어, 두 개의 Qubit 상태 벡터를 정의해 봅시다.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

이 두 벡터에 대응하는 밀도 행렬은 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

다음은 이 상태들과 몇 가지 다른 기본 예시인 $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ 그리고 $\vert {-}\rangle$를 함께 나열한 표입니다. 이 여섯 상태를 이 수업의 뒷부분에서 다시 보게 될 것입니다.

상태 벡터	밀도 행렬
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

한 가지 더 예시로, "양자 정보의 기초" 강좌의 단일 시스템 수업에서 등장한 상태를 상태 벡터 표현과 밀도 행렬 표현 두 가지 모두와 함께 살펴보겠습니다.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

양자 상태 벡터 $\vert \psi \rangle$에 대해 $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$의 형식을 가지는 밀도 행렬을 *순수 상태(pure state)*라고 합니다. 모든 밀도 행렬을 이 형식으로 쓸 수 있는 것은 아닙니다. 어떤 상태는 순수 상태가 아닙니다.

밀도 행렬로서 순수 상태는 항상 한 고윳값이 $1$이고 나머지 모든 고윳값은 $0$입니다. 이는 밀도 행렬의 고윳값이 그 상태에 내재된 무작위성 또는 불확실성을 기술한다는 해석과 일관됩니다. 본질적으로, 순수 상태 $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$에 대해서는 불확실성이 없습니다. 그 상태는 확실히 $\vert \psi \rangle$입니다.

일반적으로, 다음과 같은 양자 상태 벡터에 대해

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

$n$개의 고전적 상태를 가지는 시스템의 경우, 동일한 상태의 밀도 행렬 표현은 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

따라서 순수 상태라는 특수한 경우에, 밀도 행렬의 대각 원소가 표준 기저 측정이 각 가능한 고전적 상태를 출력할 확률을 기술한다는 사실을 확인할 수 있습니다.

순수 상태에 대한 마지막 언급으로, 밀도 행렬이 양자 상태 벡터에서 발견되는 전역 위상에 관한 중복성을 제거한다는 점입니다. 전역 위상만큼 차이 나는 두 양자 상태 벡터가 있다고 가정합시다: 어떤 실수 $\theta$에 대해 $\vert \psi \rangle$와 $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle$입니다. 전역 위상만큼 차이가 나기 때문에, 이 벡터들은 서로 다를 수 있음에도 불구하고 정확히 같은 양자 상태를 나타냅니다. 반면에, 이 두 상태 벡터로부터 얻은 밀도 행렬은 동일합니다.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

일반적으로, 밀도 행렬은 양자 상태를 유일하게 표현합니다. 즉, 두 양자 상태가 동일하다는 것, 다시 말해 그들에게 수행할 수 있는 모든 가능한 측정에 대해 정확히 같은 결과 통계를 생성한다는 것과 그들의 밀도 행렬 표현이 같다는 것은 서로 필요충분조건입니다. 수학적 용어로 표현하자면, 밀도 행렬이 양자 상태의 충실한(faithful) 표현을 제공한다고 말할 수 있습니다.