여러 시스템과 축약 상태

이제 밀도 행렬이 여러 시스템에 대해 어떻게 작동하는지, 그들이 표현할 수 있는 다양한 상관관계 유형의 예시, 그리고 복합 시스템의 고립된 부분의 상태를 설명하기 위해 어떻게 사용될 수 있는지에 관심을 돌립니다.

여러 시스템

밀도 행렬은 양자 정보의 단순화된 공식화에서 상태 벡터와 유사한 방식으로 여러 시스템의 상태를 나타낼 수 있으며, 여러 시스템을 마치 단일 복합 시스템인 것처럼 볼 수 있다는 기본 아이디어를 따릅니다. 수학적 용어로, 여러 시스템의 상태를 나타내는 밀도 행렬의 행과 열은 개별 시스템의 고전적 상태 집합의 데카르트 곱과 일치합니다.

예를 들어, 네 개의 벨 상태의 상태 벡터 표현을 상기해봅시다.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

이러한 상태의 밀도 행렬 표현은 다음과 같습니다.

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

곱 상태

상태 벡터의 경우와 유사하게, 밀도 행렬의 텐서 곱은 여러 시스템의 상태 간 독립성을 나타냅니다. 예를 들어$,\mathsf{X}$가 밀도 행렬 $\rho$로 나타내는 상태로 준비되고 $\mathsf{Y}$가 독립적으로 $\sigma$로 나타내는 상태로 준비된다면$,(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 상태를 설명하는 밀도 행렬은 텐서 곱 $\rho\otimes\sigma$입니다.

양자 정보의 단순화된 공식화에서 사용되는 것과 동일한 용어가 여기서도 사용합니다: 이러한 형태의 상태는 곱 상태라고 불립니다.

상관된 상태 및 얽힌 상태

곱 상태로 표현될 수 없는 상태는 시스템 간의 상관관계를 나타냅니다. 실제로 밀도 행렬로 나타낼 수 있는 다양한 유형의 상관관계가 있습니다. 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

1. 상관된 고전 상태. 예를 들어, Alice와 Bob이 임의의 비트를 공유하는 상황을 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. 양자 상태의 앙상블. 시스템 $\mathsf{X}$의 상태를 나타내는 $m$개의 밀도 행렬 $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$이 있고, 확률 벡터 $(p_0,\ldots,p_{m-1})$에 따라 이 상태 중 하나를 임의로 선택한다고 가정합시다. 이러한 과정은 밀도 행렬 $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$과 확률 $(p_0,\ldots,p_{m-1})$의 명시를 포함하는 상태의 앙상블로 나타나갑니다. 상태의 앙상블을 $k$의 임의 선택과 대응하는 밀도 행렬 $\rho_k$를 모두 설명하는 단일 밀도 행렬과 연결할 수 있습니다:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   명확히 하자면, 이것은 $\mathsf{Y}$가 $k$의 고전적 선택을 나타내는 쌍 $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$의 상태입니다 — 따라서 우리는 고전적 상태 집합이 $\{0,\ldots,m-1\}$이라고 가정합니다. 이러한 형태의 상태는 때때로 고전-양자 상태라고 불립니다.

3. 분리 가능한 상태. 다음과 같이 두 시스템의 양자 상태 간 고전적 상관관계가 있는 상황을 상상할 수 있습니다:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   말하자면$,k$가 0부터 $m-1$까지 각 $k$에 대해, 확률 $p_k$로 왼쪽 시스템이 상태 $\rho_k$에 있고 오른쪽 시스템이 상태 $\sigma_k$에 있습니다. 이러한 상태를 분리 가능한 상태라고 부릅니다. 이 개념은 두 개 이상의 시스템으로 확장할 수 있습니다.

4. 얽힌 상태. 모든 시스템 쌍의 상태가 분리 가능한 것은 아닙니다. 양자 정보의 일반 공식화에서, 이것이 얽힘을 정의하는 방법입니다: 분리 가능하지 않은 상태를 얽힌 상태라고 말합니다.

   이 용어는 "양자 정보의 기초" 강의에서 사용한 용어와 일치합니다. 거기서 우리는 곱 상태가 아닌 양자 상태 벡터가 얽힌 상태를 나타낸다고 말했습니다 — 실제로, 곱 상태가 아닌 모든 양자 상태 벡터 $\vert\psi\rangle$에 대해, 밀도 행렬 $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$로 나타내는 상태가 분리 가능하지 않습니다. 순수하지 않은 상태의 경우 얽힘은 이것보다 훨씬 더 복잡합니다.

축약 상태와 부분 대각합

여러 시스템의 문맥에서 밀도 행렬로 할 수 있는 간단하지만 중요한 것이 있습니다. 그것은 시스템을 무시함으로써 얻는 상태를 설명하는 것입니다. 여러 시스템이 양자 상태에 있고 우리가 하나 이상의 시스템을 버리거나 무시하기로 선택할 때, 남은 시스템의 상태는 이 시스템들의 축약 상태라고 불립니다. 축약 상태의 밀도 행렬 설명은 부분 대각합이라는 매핑을 통해 전체의 상태를 설명하는 밀도 행렬에서 쉽게 얻어집니다.

예: e-비트의 축약 상태

큐비트 쌍 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$이 함께 상태에 있다고 가정합시다

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

Alice가 큐비트 $\mathsf{A}$를 보유하고 Bob이 $\mathsf{B}$를 보유한다고 상상할 수 있습니다. 즉, 함께 그들은 e-비트를 공유합니다. 우리는 Bob이 자신의 큐비트를 가지고 별로 여행을 떠나 다시는 보이지 않을 경우, 고립된 Alice의 큐비트 $\mathsf{A}$에 대한 밀도 행렬 설명을 원합니다.

먼저, Bob이 여정 어딘가에서 표준 기저 측정으로 자신의 큐비트를 측정하기로 결정했다면 어떻게 될지 생각해봅시다. 만약 그렇게 한다면, 그는 다음 확률로 결과 $0$을 얻게 됩니다

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

이 경우 Alice의 큐비트의 상태는 $\vert 0\rangle$가 됩니다. 그리고 다음 확률로 결과 $1$을 얻게 됩니다

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

이 경우 Alice의 큐비트의 상태는 $\vert 1\rangle$가 됩니다.

따라서 Bob의 측정 결과를 무시하고 Alice의 큐비트에 초점을 맞추면, 그녀가 상태 $\vert 0\rangle$을 확률 $1/2$로, 상태 $\vert 1\rangle$을 확률 $1/2$로 얻는다고 결론 내릴 수 있습니다. 이는 우리가 고립된 Alice의 큐비트의 상태를 밀도 행렬로 설명하도록 이끕니다:

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

즉, Alice의 큐비트는 완전히 혼합된 상태에 있습니다. 명확히 하자면, Alice의 큐비트 상태에 대한 이 설명에는 Bob의 측정 결과가 포함되어 있지 않습니다. 우리는 Bob을 완전히 무시하고 있습니다.

이제, 우리가 얻은 고립된 Alice의 큐비트에 대한 밀도 행렬 설명이 Bob이 자신의 큐비트를 측정했다는 가정에 의존한다는 것처럼 보일 수 있지만, 실제로는 그렇지 않습니다. 우리가 한 것은 Bob이 자신의 큐비트를 측정할 가능성을 사용하여 우리가 이미 배운 것을 바탕으로 완전히 혼합된 상태가 Alice의 큐비트의 상태로 발생한다고 주장하는 것입니다. 물론, Bob이 자신의 큐비트를 측정해야 한다고 말하는 것은 없습니다 — 하지만 그가 그렇지 않는다고 말하는 것도 없습니다. 그리고 그가 광년 떨어져 있다면, 그가 하거나 하지 않은 어떤 것도 Alice의 큐비트의 상태에 영향을 줄 수 없습니다. 즉, Alice의 큐비트에 대해 얻은 설명은 광속보다 빠른 통신의 불가능성과 일치하는 유일한 설명입니다.

우리는 또한 Bob의 큐비트 $\mathsf{B}$의 상태를 고려할 수 있으며, 이는 완전히 혼합된 상태이기도 합니다. 실제로, 네 개의 벨 상태 모두에 대해 Alice의 큐비트과 Bob의 큐비트 모두의 축약 상태가 완전히 혼합된 상태임을 발견합니다.

일반 양자 상태 벡터에 대한 축약 상태

이제 방금 논의한 예제를 두 임의 시스템 $\mathsf{A}$와 $\mathsf{B}$로 일반화합시다. 반드시 상태 $\vert \phi^+\rangle$의 큐비트일 필요는 없습니다. 우리는 $\mathsf{A}$와 $\mathsf{B}$의 고전적 상태 집합이 각각 $\Sigma$와 $\Gamma$라고 가정합니다. 따라서 결합 시스템 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$의 상태를 나타내는 밀도 행렬 $\rho$는 데카르트 곱 $\Sigma\times\Gamma$에 해당하는 행과 열 색인을 가집니다.

$(\mathsf{A},\mathsf{B})$의 상태가 양자 상태 벡터 $\vert\psi\rangle$로 설명된다고 가정합시다. 그러면 이 상태를 설명하는 밀도 행렬은 $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$입니다. 고립된 $\mathsf{A}$의 상태에 대한 밀도 행렬 설명을 얻을 것이며, 이는 관례적으로 $\rho_{\mathsf{A}}$로 표기됩니다. (아래첨자 대신 위첨자를 쓰기도 합니다.)

상태 벡터 $\vert\psi\rangle$는 다음 형태로 표현될 수 있습니다

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

고유하게 결정되는 벡터 모음 $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}$에 대해. 특히, 이 벡터들은 간단한 공식을 통해 결정될 수 있습니다.

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

이전 e-비트 예제와 유사하게 추론하면, 우리가 시스템 $\mathsf{B}$를 표준 기저 측정으로 측정한다면, 각 결과 $b\in\Gamma$을 확률 $\|\vert\phi_b\rangle\|^2$로 얻을 것이고, 이 경우 $\mathsf{A}$의 상태는

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

밀도 행렬로, 이 상태는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

각 결과의 확률에 따라 다른 상태를 평균화하면, 우리는 밀도 행렬에 도달합니다

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

부분 대각합

공식

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

우리를 순수 상태뿐만 아니라 쌍 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$의 모든 밀도 행렬 $\rho$에 대해 $\mathsf{A}$의 축약 상태에 대한 설명으로 인도합니다.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

이 공식은 선형성과 함께 모든 밀도 행렬이 순수 상태의 볼록 결합으로 쓸 수 있다는 사실 때문에 작동해야 합니다.

이 식에서 $\rho_{\mathsf{A}}$를 얻기 위해 $\rho$에 적용하는 연산을 부분 대각합이라고 하며, 더 정확히는 부분 대각합이 $\mathsf{B}$에 대해 수행되거나 $\mathsf{B}$가 대각합을 취해 소거된다고 말합니다. 이 연산은 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$로 표기되므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

$\mathsf{B}$가 아니라 $\mathsf{A}$가 추적 소거되도록, $\mathsf{A}$에 대해서도 부분 대각합을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

이는 $\mathsf{A}$가 아니라 $\mathsf{B}$가 단독으로 있을 때의 상태에 대한 밀도 행렬 설명 $\rho_{\mathsf{B}}$를 제공합니다.

요약하면, $(\mathsf{A},\mathsf{B})$가 어떤 시스템 쌍이고 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$의 상태를 설명하는 밀도 행렬 $\rho$가 있을 때, 시스템 $\mathsf{A}$와 $\mathsf{B}$의 축약 상태는 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

$\rho$가 밀도 행렬이라면, $\rho_{\mathsf{A}}$와 $\rho_{\mathsf{B}}$ 역시 반드시 밀도 행렬이 됩니다.

이러한 개념은 두 개 대신 임의의 수의 시스템으로 자연스러운 방식으로 일반화될 수 있습니다. 일반적으로, 밀도 행렬 $\rho$의 아래첨자에 우리가 선택한 어떤 시스템의 이름이든 넣어서 그 시스템들만의 축약 상태를 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, $\mathsf{A}$, $\mathsf{B}$, $\mathsf{C}$가 시스템이고 $\rho$가 $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})$의 상태를 설명하는 밀도 행렬이라면, 다음과 같이 정의할 수 있습니다

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

다른 시스템 선택에 대해서도 유사하게 정의합니다.

부분 대각합의 대체 설명

부분 대각합 매핑 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ 와 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$을 설명하는 대체 방법은 그들이 공식을 만족하는 유일한 선형 매핑이라는 것입니다

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

이 공식들에서, $N$과 $M$은 적절한 크기의 정사각 행렬입니다: $M$의 행과 열은 $\mathsf{A}$의 고전적 상태에 해당하고 $N$의 행과 열은 $\mathsf{B}$의 고전적 상태에 해당합니다.

부분 대각합의 이 특성화는 수학적 관점에서 기초적일 뿐만 아니라 일부 상황에서 빠른 계산을 할 수 있게 합니다. 예를 들어, 큐비트 쌍 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$의 이 상태를 고려합시다.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

축약 상태 $\rho_{\mathsf{A}}$를 계산하기 위해, 우리는 선형성과 함께 사실을 사용할 수 있습니다 $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ 와 $\vert +\rangle\langle +\vert$는 단위 대각합을 가집니다.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

축약 상태 $\rho_{\mathsf{B}}$는 유사하게 계산될 수 있습니다.

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

두 큐비트에 대한 부분 대각합

부분 대각합은 또한 행렬 관점에서 명시적으로 설명될 수 있습니다. 여기서 우리는 두 큐비트만에 대해 이를 수행하지만, 이것은 더 큰 시스템으로도 일반화될 수 있습니다. 두 큐비트 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$를 가진다고 가정합시다. 그래서 이 두 큐비트의 상태를 설명하는 모든 밀도 행렬을 다음과 같이 쓸 수 있습니다

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

복소수 집합 $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}$의 어떤 선택에 대해.

첫 시스템에 대한 부분 대각합은 다음 공식을 가집니다.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

이 공식을 생각하는 한 가지 방법은 $4\times 4$ 행렬을 $2\times 2$ 블록 행렬로 보기 시작하는 것입니다. 각 블록은 $2\times 2$입니다. 즉,

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

에서

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

우리는 그러면

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

다음은 첫 번째가 아니라 두 번째 시스템이 추적 소거될 때의 공식입니다.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

이전과 유사한 형태의 블록 행렬로 표현하면, 다음 공식을 얻습니다.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

이러한 함수들의 블록 행렬 설명은 큐비트보다 큰 시스템으로 자연스럽고 직접적인 방식으로 확장될 수 있습니다.

수업을 마무리하며, 앞에서 살펴본 같은 상태에 이 공식들을 적용해 봅시다.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

첫 번째 시스템 $\mathsf{A}$의 축약 상태는

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

그리고 두 번째 시스템 $\mathsf{B}$의 축약 상태는

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$