정화(Purifications)

정화의 정의

정화에 대한 정확한 수학적 정의부터 시작하겠습니다.

정의

$\mathsf{X}$가 밀도 행렬 $\rho$로 표현되는 상태에 있는 시스템이라 하고, $\vert\psi\rangle$가 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 양자 상태 벡터로서 $\mathsf{Y}$를 추적 소거(trace out)하면 $\rho$가 남는다고 합시다.

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle\langle\psi\vert\bigr).$$

이때 상태 벡터 $\vert\psi\rangle$를 $\rho$의 *정화(purification)*라고 합니다.

정의의 방정식이 성립할 때, 양자 상태 벡터가 아닌 밀도 행렬로 표현된 순수 상태 $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$도 $\rho$의 정화라고 부르는 경우가 많습니다만, 여기서는 일반적으로 양자 상태 벡터를 가리키는 용어로 사용하겠습니다.

정화라는 용어는 더 넓은 의미로도 사용됩니다. 시스템의 순서가 바뀌거나, 시스템과 상태의 이름이 다를 때(물론), 또는 시스템이 셋 이상일 때도 마찬가지입니다. 예를 들어, $\vert \psi \rangle$가 복합 시스템 $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})$의 순수 상태를 나타내는 양자 상태 벡터이고, 방정식

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr)$$

이 시스템 $(\mathsf{A},\mathsf{C})$의 상태를 나타내는 밀도 행렬 $\rho$에 대해 성립한다면, $\vert\psi\rangle$는 여전히 $\rho$의 정화라고 합니다.

그러나 이 강의에서는 정의에서 설명한 특정 형태에 집중하겠습니다. 이 정의에 따른 정화의 성질과 사실들은 일반적으로 두 개 이상의 시스템으로 일반화할 수 있습니다. 이때 시스템들을 재배열하고 두 개의 복합 시스템으로 분할하여, 하나는 $\mathsf{X}$의 역할을, 다른 하나는 $\mathsf{Y}$의 역할을 담당하게 하면 됩니다.

정화의 존재

$\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 임의의 두 시스템이고 $\rho$가 $\mathsf{X}$의 주어진 상태라고 합시다. 시스템 $\mathsf{Y}$가 충분히 크다면, $\rho$를 정화하는 — 즉, $\vert\psi\rangle$가 $\rho$의 정화라는 것의 다른 표현 — 양자 상태 벡터 $\vert\psi\rangle$가 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$에 존재함을 증명하겠습니다. 특히, $\mathsf{Y}$가 $\mathsf{X}$만큼의 고전 상태를 가진다면, 모든 상태 $\rho$에 대해 이런 형태의 정화가 반드시 존재합니다. 일부 상태 $\rho$에는 더 적은 수의 $\mathsf{Y}$의 고전 상태만으로도 충분합니다. 일반적으로, $\rho$를 정화하는 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 양자 상태 벡터가 존재하기 위해서는 $\mathsf{Y}$의 $\operatorname{rank}(\rho)$개의 고전 상태가 필요충분합니다.

우선 임의의 양의 정수 $n$에 대해, $\rho$를 $n$개의 순수 상태의 볼록 결합(convex combination)으로 표현하는 임의의 식을 고려합니다.

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert$$

이 표현에서 $(p_0,\ldots,p_{n-1})$은 확률 벡터이고, $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$은 $\mathsf{X}$의 양자 상태 벡터입니다.

이러한 표현을 얻는 한 가지 방법은 스펙트럼 정리(spectral theorem)를 사용하는 것입니다. 이 경우 $n$은 $\mathsf{X}$의 고전 상태 수이고, $p_0,\ldots,p_{n-1}$은 $\rho$의 고유값이며, $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$은 이 고유값에 대응하는 정규직교 고유벡터입니다.

실제로 $\rho$의 영(zero) 고유값에 해당하는 항들은 합에 포함할 필요가 없으므로, 대신 $n = \operatorname{rank}(\rho)$로 선택하고 $p_0,\ldots,p_{n-1}$을 $\rho$의 영이 아닌 고유값으로 선택할 수도 있습니다. 이것이 위의 형태로 $\rho$를 표현하는 데 필요한 $n$의 최솟값입니다.

명확히 말하면, 순수 상태의 볼록 결합으로 표현한 $\rho$가 스펙트럼 정리에서 나올 필요는 없습니다 — 이것은 그러한 표현을 얻는 방법 중 하나일 뿐입니다. 특히, $n$은 임의의 양의 정수일 수 있고, 단위 벡터 $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$이 직교할 필요도 없으며, 확률 $p_0,\ldots,p_{n-1}$이 $\rho$의 고유값일 필요도 없습니다.

이제 $\rho$의 정화를 다음과 같이 구성할 수 있습니다.

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert a \rangle$$

여기서 $\mathsf{Y}$의 고전 상태들이 $0,\ldots,n-1$을 포함한다고 가정합니다. 그렇지 않은 경우, $\mathsf{Y}$의 $n$개의 서로 다른 고전 상태를 임의로 선택하여 $0,\ldots,n-1$ 대신 사용하면 됩니다. 이것이 실제로 $\rho$의 정화임을 확인하는 것은 부분 추적(partial trace)을 계산하는 간단한 과정으로, 아래의 두 가지 동등한 방법으로 계산할 수 있습니다.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{n-1} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \langle a\vert) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \vert a\rangle) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert = \rho$$ $$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{p_b} \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_b\vert \, \operatorname{Tr}(\vert a \rangle \langle b \vert) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_a\vert = \rho$$

더 일반적으로, 임의의 정규직교 벡터 집합 $\{\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{n-1}\rangle\}$에 대해, 양자 상태 벡터

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert \gamma_a \rangle$$

는 $\rho$의 정화입니다.

예시

$\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 모두 Qubit이고

$$\rho = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

가 $\mathsf{X}$의 상태를 나타내는 밀도 행렬이라고 가정합니다.

스펙트럼 정리를 사용하면 $\rho$를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$\rho = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle\langle\psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle\langle\psi_{5\pi/8}\vert,$$

여기서 $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta) \vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle$입니다. 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 순수 상태를 기술하는 양자 상태 벡터

$$\cos(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle \otimes \vert 0\rangle + \sin(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle \otimes \vert 1\rangle$$

는 따라서 $\rho$의 순수화입니다.

이와 달리, 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert.$$

이것은 순수 상태의 볼록 결합이지만, $\vert 0\rangle$과 $\vert +\rangle$가 직교하지 않고 $1/2$가 $\rho$의 고유값이 아니기 때문에 스펙트럼 분해가 아닙니다. 그럼에도 불구하고, 양자 상태 벡터

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \otimes \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert + \rangle \otimes \vert 1\rangle$$

는 $\rho$의 순수화입니다.

슈미트 분해

다음으로, *슈미트 분해(Schmidt decompositions)*에 대해 살펴보겠습니다. 슈미트 분해란 두 시스템의 쌍에 대한 양자 상태 벡터를 특정 형태로 표현한 것입니다. 슈미트 분해는 순화(purification)와 밀접하게 연관되어 있으며, 그 자체로도 매우 유용합니다. 실제로 두 시스템의 쌍에 대한 양자 상태 벡터 $\vert\psi\rangle$를 다룰 때, 첫 번째 단계는 해당 상태의 슈미트 분해를 찾거나 고려하는 경우가 많습니다.

정의

$\vert \psi\rangle$를 시스템 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 주어진 양자 상태 벡터라 하겠습니다. $\vert\psi\rangle$의 슈미트 분해는 다음과 같은 형태의 표현입니다.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle,$$

여기서 $p_0,\ldots,p_{r-1}$은 합이 $1$인 양의 실수이고, 집합 $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$과 $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ 모두 정규직교 집합입니다.

$\vert\psi\rangle$의 슈미트 분해에서

$$\sqrt{p_0},\ldots,\sqrt{p_{r-1}}$$

값들을 *슈미트 계수(Schmidt coefficients)*라 하며, 이 값들은 (순서에 관계없이) 유일하게 결정됩니다. 즉, 이 값들만이 $\vert\psi\rangle$의 이러한 표현에 등장할 수 있는 양의 실수입니다. 반면, 집합

$$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\} \quad\text{and}\quad \{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$$

은 유일하게 결정되지 않으며, 이 벡터 집합들을 선택할 때 어느 정도의 자유도가 있습니다. 이에 대해서는 이어지는 설명에서 더 자세히 다루겠습니다.

이제 주어진 양자 상태 벡터 $\vert\psi\rangle$에 슈미트 분해가 실제로 존재함을 확인하고, 그 과정에서 슈미트 분해를 구하는 방법도 알아보겠습니다.

먼저, 시스템 $\mathsf{X}$에 대응하는 벡터 공간의 임의의 기저(반드시 직교할 필요는 없음) $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$를 고려합니다. 이것이 기저이므로, 다음 방정식을 만족하는 유일하게 결정된 벡터들 $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$이 항상 존재합니다.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a \rangle \tag{1}$$

예를 들어, $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$이 $\mathsf{X}$에 연관된 표준 기저라고 가정해 보겠습니다. $\mathsf{X}$의 고전 상태 집합이 $\{0,\ldots,n-1\}$이라 하면, 각 $a\in\{0,\ldots,n-1\}$에 대해 $\vert x_a\rangle = \vert a\rangle$이 되고,

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a\rangle \otimes \vert z_a\rangle$$

가 성립하며, 이때

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

가 각 $a\in\{0,\ldots,n-1\}$에 대해 성립합니다. 이러한 표현은 $\mathsf{X}$의 표준 기저 측정을 고려할 때 자주 등장합니다.

여기서 중요한 점은,

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

라는 공식이 이 예시에서 벡터들 $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$에 대해 성립하는 것은 $\{\vert 0\rangle,\ldots,\vert n-1\rangle\}$이 정규직교 기저이기 때문이라는 것입니다. 일반적으로, $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$이 반드시 정규직교하지 않아도 되는 기저인 경우, 벡터들 $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$은 방정식 $(1)$에 의해 여전히 유일하게 결정되지만, 다른 공식이 필요합니다. 이를 구하는 한 가지 방법은 먼저 다음을 만족하는 벡터들 $\vert w_0\rangle,\ldots,\vert w_{n-1}\rangle$을 찾는 것입니다.

$$\langle w_a \vert x_b \rangle = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

모든 $a,b\in\{0,\ldots,n-1\}$에 대해 이 조건이 만족되면,

$$\vert z_a \rangle = (\langle w_a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

가 성립합니다.

$\mathsf{X}$에 대응하는 벡터 공간의 주어진 기저 $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$에 대해, 방정식 $(1)$을 만족하는 유일하게 결정된 벡터들 $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$이 $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$이 정규직교 기저인 경우에도 특별한 성질을 반드시 만족하지는 않습니다. 그러나 $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$을 축소 상태(reduced state)의 고유벡터들로 이루어진 정규직교 기저로 선택하면,

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle \langle \psi \vert \bigr),$$

흥미로운 일이 발생합니다. 구체적으로, 방정식 $(1)$을 만족하는 유일하게 결정된 집합 $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$이 반드시 직교함을 알 수 있습니다.

더 자세히 설명하면, $\rho$의 스펙트럼 분해를 고려합니다.

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert$$

여기서 $\rho$는 밀도 행렬이므로 $\rho$의 고유값들을 $p_0,\ldots,p_{n-1}$로 표기합니다. 즉, 고유값 벡터 $(p_0,\ldots,p_{n-1})$는 확률 벡터를 이루며, $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$은 이 고유값들에 대응하는 정규직교 고유벡터 기저입니다. 방정식 $(1)$을 만족하는 유일한 집합 $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$이 반드시 직교함을 보이기 위해, 편미분 트레이스를 계산하는 것부터 시작할 수 있습니다.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \operatorname{Tr}(\vert z_a\rangle\langle z_b\vert)\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \langle z_b\vert z_a\rangle \, \vert x_a\rangle\langle x_b\vert. \end{aligned}$$

이 표현은 $\rho$의 스펙트럼 분해와 일치해야 합니다. $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$이 기저이므로, 행렬들의 집합

$$\bigl\{ \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \,:\, a,b\in\{0,\ldots,n-1\} \bigr\}$$

이 선형 독립임을 알 수 있으며, 따라서

$$\langle z_b \vert z_a\rangle = \begin{cases} p_a & a=b\\[1mm] 0 & a\neq b, \end{cases}$$

가 성립하여 $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$이 직교함이 확인됩니다.

이제 $\vert\psi\rangle$의 슈미트 분해에 거의 도달했습니다. $p_a = 0$인 항들을 $(1)$에서 제거하고, 나머지 각 항에 대해 단위 벡터 $\vert y_a\rangle$를 이용하여 $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$로 쓰면 됩니다.

이를 편리하게 수행하는 방법은, 축소 상태 $\rho$의 스펙트럼 분해에서 고유값/고유벡터 쌍의 번호를 원하는 대로 매길 수 있다는 관찰에서 시작합니다. 따라서 고유값들이 내림차순으로 정렬되어 있다고 가정할 수 있습니다.

$$p_0 \geq p_1 \geq \cdots \geq p_{n-1}.$$

$r = \operatorname{rank}(\rho)$로 놓으면, $p_0,\ldots,p_{r-1} > 0$이고 $p_r = \cdots = p_{n-1} = 0$임을 알 수 있습니다. 따라서

$$\rho = \sum_{a = 0}^{r-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert,$$

이고, 양자 상태 벡터 $\vert \psi \rangle$를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a\rangle.$$

$a=0,\ldots,r-1$에 대해

$$\| \vert z_a \rangle \|^2 = \langle z_a \vert z_a \rangle = p_a > 0$$

이 성립하므로, 단위 벡터들 $\vert y_0 \rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle$을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

$$\vert y_a\rangle = \frac{\vert z_a\rangle}{\|\vert z_a\rangle\|} = \frac{\vert z_a\rangle}{\sqrt{p_a}},$$

그러면 각 $a\in\{0,\ldots,r-1\}$에 대해 $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$이 됩니다. 벡터들 $\{\vert z_0\rangle, \ldots, \vert z_{r-1}\rangle\}$이 직교하고 영이 아니므로, $\{\vert y_0\rangle, \ldots, \vert y_{r-1}\rangle\}$은 정규직교 집합이 되고, 이로써 $\vert\psi\rangle$의 슈미트 분해를 얻었습니다.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle$$

벡터들 $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$과 $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$의 선택에 관해서는, $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$을 축소 상태 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$의 영이 아닌 고유값들에 대응하는 임의의 정규직교 고유벡터 집합으로 선택할 수 있으며(위에서 한 것처럼), 이 경우 벡터들 $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$이 유일하게 결정됩니다.

상황이 두 시스템에 대해 대칭적이므로, 반대로 $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$을 축소 상태 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$의 영이 아닌 고유값들에 대응하는 임의의 정규직교 고유벡터 집합으로 선택할 수도 있으며, 이 경우 벡터들 $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$이 유일하게 결정됩니다.

단, 한 집합이 이처럼 해당 축소 상태의 고유벡터 집합으로 선택되면, 나머지 집합은 결정된다는 점에 주의하세요. 즉, 두 집합을 독립적으로 선택할 수는 없습니다.

이 시리즈에서 다시 다루지는 않겠지만, 시스템 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 임의의 순수 상태 $\vert\psi\rangle$에 대해, 축소 상태 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$의 영이 아닌 고유값 $p_0,\ldots,p_{r-1}$은 항상 축소 상태 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$의 영이 아닌 고유값들과 일치한다는 점은 주목할 만합니다.

직관적으로 설명하면, 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$가 순수 상태에 있을 때 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$의 축소 상태는 정확히 동일한 양의 무작위성을 가집니다. 이 사실은 슈미트 분해를 통해 드러납니다. 즉, 두 경우 모두 축소 상태의 고유값은 순수 상태의 슈미트 계수의 제곱과 일치해야 합니다.

정화의 유니터리 동치성

슈미트 분해를 활용하면 정화에 관한 근본적으로 중요한 사실인 정화의 유니터리 동치성을 확립할 수 있습니다.

정리

정화의 유니터리 동치성: $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 시스템이고, $\vert\psi\rangle$과 $\vert\phi\rangle$이 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 양자 상태 벡터로서 $\mathsf{X}$의 동일한 상태를 정화한다고 가정합니다. 기호로 나타내면,

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

이며, $\rho$는 $\mathsf{X}$의 상태를 나타내는 밀도 행렬입니다. 이때 반드시 $\mathsf{Y}$에만 작용하는 유니터리 연산 $U$가 존재하여 첫 번째 정화를 두 번째 정화로 변환합니다.

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle = \vert\phi\rangle.$$

이 정리의 몇 가지 함의는 강의가 진행되면서 다루겠지만, 먼저 이 정리가 앞서 논의한 슈미트 분해로부터 어떻게 도출되는지 살펴보겠습니다.

우리의 가정은 $\vert\psi\rangle$과 $\vert\phi\rangle$이 시스템 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 양자 상태 벡터로서

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

를 만족한다는 것입니다. 여기서 $\rho$는 $\mathsf{X}$의 상태를 나타내는 밀도 행렬입니다.

$\rho$의 스펙트럴 분해를 고려합니다.

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a\rangle\langle x_a\vert$$

여기서 $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$은 $\rho$의 정규직교 고유벡터 기저입니다. 앞서 설명한 방법을 따르면 $\vert\psi\rangle$과 $\vert\phi\rangle$ 모두에 대해 다음과 같은 형태의 슈미트 분해를 구할 수 있습니다.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert u_a\rangle\\[1mm] \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle \end{aligned}$$

이 식에서 $r$은 $\rho$의 랭크이고, $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{r-1}\rangle\}$과 $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{r-1}\rangle\}$은 $\mathsf{Y}$에 해당하는 공간에서의 정규직교 벡터 집합입니다.

같은 공간에 있는 두 정규직교 집합이 원소의 수가 같다면, 항상 첫 번째 집합을 두 번째 집합으로 변환하는 유니터리 행렬이 존재합니다. 따라서 $a = 0,\ldots,r-1$에 대해 $U \vert u_a\rangle = \vert v_a\rangle$이 되도록 유니터리 행렬 $U$를 선택할 수 있습니다. 특히, 이러한 행렬 $U$를 구하려면 먼저 그람-슈미트 직교화 과정을 사용하여 정규직교 집합을 정규직교 기저 $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{m-1}\rangle\}$과 $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{m-1}\rangle\}$으로 확장합니다. 여기서 $m$은 $\mathsf{Y}$에 해당하는 공간의 차원이며, 그런 다음

$$U = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert v_a\rangle\langle u_a\vert$$

로 설정합니다.

이제 다음을 확인할 수 있습니다.

$$\begin{aligned} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes U \vert u_a\rangle\\ & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle\\ & = \vert\phi\rangle, \end{aligned}$$

이것으로 증명이 완성됩니다.

다음은 정화의 유니터리 동치성과 관련된 많은 흥미로운 예시와 함의 중 일부입니다. 나중에 강의에서 충실도(fidelity)와 관련하여 *울만의 정리(Uhlmann's theorem)*라고 알려진 또 다른 매우 중요한 예시를 살펴볼 것입니다.

초밀집 코딩

초밀집 코딩 프로토콜에서 앨리스와 밥은 e-비트를 공유합니다. 즉, 앨리스는 Qubit $\mathsf{A}$를 보유하고, 밥은 Qubit $\mathsf{B}$를 보유하며, 쌍 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$는 함께 $\vert\phi^{+}\rangle$ 벨 상태에 있습니다. 이 프로토콜은 앨리스가 자신의 Qubit $\mathsf{A}$에 유니터리 연산을 적용함으로써 이 공유 상태를 네 가지 벨 상태 $\vert\phi^+\rangle,$ $\vert\phi^-\rangle,$ $\vert\psi^+\rangle,$ $\vert\psi^-\rangle$ 중 하나로 변환할 수 있는 방법을 설명합니다. 앨리스가 이 작업을 마친 후 $\mathsf{A}$를 밥에게 보내면, 밥은 쌍 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$에 대해 측정을 수행하여 어떤 벨 상태를 보유하고 있는지 확인합니다.

네 가지 벨 상태 모두에 대해 밥의 Qubit $\mathsf{B}$의 환원 상태는 완전 혼합 상태입니다.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^+\rangle\langle\phi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^-\rangle\langle\phi^-\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^+\rangle\langle\psi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert) = \frac{\mathbb{I}}{2}$$

정화의 유니터리 동치성에 의해, 각 벨 상태에 대해 앨리스의 Qubit $\mathsf{A}$에만 작용하는 유니터리 연산이 존재하여 $\vert\phi^+\rangle$을 선택한 벨 상태로 변환한다는 것을 즉시 알 수 있습니다. 이것이 프로토콜의 세부 사항을 밝혀주지는 않지만, 정화의 유니터리 동치성은 초밀집 코딩이 가능함을 즉시 함의합니다.

또한 벨 상태를 완전 혼합 상태의 정화로 이루어진 임의의 정규직교 기저로 대체한다면, 더 큰 시스템으로의 초밀집 코딩의 일반화가 항상 가능하다는 결론도 내릴 수 있습니다.

암호학적 함의

정화의 유니터리 동치성은 양자 정보를 이용한 암호학적 프리미티브 구현에 관한 함의를 가집니다. 예를 들어, 정화의 유니터리 동치성은 양자 정보를 사용하여 이상적인 형태의 *비트 약속(bit commitment)*을 구현하는 것이 불가능하다는 것을 보여줍니다.

비트 약속 프리미티브는 (서로를 신뢰하지 않는) 앨리스와 밥, 두 참여자를 포함하며 두 단계로 구성됩니다.

• 첫 번째 단계는 약속 단계로, 앨리스가 이진 값 $b\in\{0,1\}$을 약속합니다. 이 약속은 구속력이 있어야 하는데, 이는 앨리스가 마음을 바꿀 수 없다는 의미이며, 동시에 은닉성이 있어야 하는데, 이는 밥이 앨리스가 약속한 값을 알 수 없다는 의미입니다.
• 두 번째 단계는 공개 단계로, 앨리스가 약속한 비트가 밥에게 알려지며, 밥은 공개된 값이 실제로 약속한 값임을 확인할 수 있어야 합니다.

직관적인 관점에서 비트 약속의 첫 번째 단계는 마치 앨리스가 종이에 이진 값을 적고, 금고 안에 잠근 후, 자신은 열쇠를 보관하면서 금고를 밥에게 주는 것처럼 작동해야 합니다. 앨리스는 금고가 밥의 소유가 되었기 때문에 종이에 적힌 이진 값을 약속한 것이며 (구속력이 있음), 밥은 금고를 열 수 없으므로 앨리스가 어떤 값을 약속했는지 알 수 없습니다 (은닉성이 있음). 두 번째 단계는 앨리스가 밥에게 금고 열쇠를 건네주는 것처럼 작동해야 하며, 밥은 금고를 열어 앨리스가 약속한 값을 확인합니다.

사실, 양자 정보만으로는 완벽한 비트 약속 프로토콜을 구현하는 것이 불가능합니다. 이는 정화의 유니터리 동치성에 모순되기 때문입니다. 다음은 이를 확립하는 논증의 개략적인 요약입니다.

먼저, 프로토콜이 실행되는 동안 앨리스와 밥은 유니터리 연산만 수행하거나 초기화된 새 시스템을 도입한다고 가정할 수 있습니다. 모든 채널은 스틴스프링(Stinespring) 표현을 가진다는 사실이 이 가정을 가능하게 합니다.

약속 단계가 끝날 때 밥이 소유하는 복합 시스템은 두 가지 양자 상태 중 하나에 있어야 합니다. 앨리스가 값 $0$을 약속한 경우 $\rho_0$, 값 $1$을 약속한 경우 $\rho_1$입니다. 프로토콜이 완벽히 은닉성을 가지려면 밥이 이 두 상태를 구별할 수 없어야 하므로 $\rho_0 = \rho_1$이 성립해야 합니다. (그렇지 않으면 이 상태들을 확률적으로 구별하는 측정이 존재하게 됩니다.)

그러나 앨리스와 밥은 유니터리 연산만 사용했으므로, 약속 단계 이후 프로토콜에 관여된 모든 시스템의 상태는 순수 상태에 있어야 합니다. 특히 앨리스가 $0$을 약속할 때 관련된 모든 시스템의 순수 상태를 $\vert\psi_0\rangle$, 앨리스가 $1$을 약속할 때를 $\vert\psi_1\rangle$이라 하겠습니다. 앨리스와 밥의 (복합) 시스템을 각각 $\mathsf{A}$와 $\mathsf{B}$로 나타내면,

$$\begin{aligned} \rho_0 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert)\\[1mm] \rho_1 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert). \end{aligned}$$

완벽히 은닉성이 있는 프로토콜을 위해서는 $\rho_0 = \rho_1$이 요구되므로, $\vert\psi_0\rangle$과 $\vert\psi_1\rangle$은 동일한 상태의 정화임을 알 수 있습니다. 따라서 정화의 유니터리 동치성에 의해, $\mathsf{A}$에만 작용하는 유니터리 연산 $U$가 존재하여

$$(U\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}})\vert\psi_0\rangle = \vert\psi_1\rangle$$

을 만족합니다.

따라서 앨리스는 $U$를 $\mathsf{A}$에 적용함으로써 약속을 $0$에서 $1$로 바꾸거나, $U^{\dagger}$를 적용하여 $1$에서 $0$으로 바꿀 수 있습니다. 그러므로 고려 중인 가상의 프로토콜은 구속력을 완전히 잃게 됩니다.

휴스턴-조사-우터스 정리

이 강의 부분에서 다룰 정화의 유니터리 동치성의 마지막 함의는 휴스턴-조사-우터스 정리(Hughston-Jozsa-Wootters theorem)로 알려진 다음 정리입니다. (사실 이것은 이 이름으로 알려진 정리를 약간 단순화한 진술입니다.)

정리

휴스턴-조사-우터스: $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$를 시스템이라 하고 $\vert\phi\rangle$을 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 양자 상태 벡터라 합니다. 또한 $N$을 임의의 양의 정수라 하고, $(p_0,\ldots,p_{N-1})$을 확률 벡터라 하며, $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$을 $\mathsf{X}$의 상태를 나타내는 양자 상태 벡터라 합니다. 이때

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert$$

이 성립합니다. $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$가 상태 $\vert\phi\rangle$에 있을 때 $\mathsf{Y}$에 이 측정을 수행하면 다음 두 가지가 성립하도록 하는 $\mathsf{Y}$에 대한 (일반) 측정 $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$이 존재합니다.

1. 각 측정 결과 $a\in\{0,\ldots,N-1\}$은 확률 $p_a$로 나타납니다.
2. 측정 결과 $a$를 얻는 조건 하에서 $\mathsf{X}$의 상태는 $\vert\psi_a\rangle$이 됩니다.

직관적으로 말하면, 이 정리는 두 시스템의 순수 상태가 주어질 때, 첫 번째 시스템의 환원 상태를 순수 상태의 볼록 결합으로 생각하는 어떤 방식에 대해서도, 두 번째 시스템을 측정하여 이 방식을 현실로 만드는 측정이 존재함을 의미합니다. $N$은 $\mathsf{X}$나 $\mathsf{Y}$의 고전 상태 수에 의해 제한될 필요가 없다는 점에 주목하세요. 예를 들어, $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 Qubit이면서 $N = 1{,}000{,}000$일 수 있습니다.

이 정리는 정화의 유니터리 동치성을 사용하여 증명할 것이며, 고전 상태 집합이 $\{0,\ldots,N-1\}$인 새로운 시스템 $\mathsf{Z}$를 도입하는 것으로 시작합니다. 삼중 시스템 $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$의 다음 두 양자 상태 벡터를 고려합니다.

$$\begin{aligned} \vert\gamma_0\rangle & = \vert\phi\rangle_{\mathsf{XY}}\otimes\vert 0\rangle_{\mathsf{Z}}\\[1mm] \vert\gamma_1\rangle & = \sum_{a = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\, \vert\psi_a\rangle_{\mathsf{X}} \otimes \vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle_{\mathsf{Z}} \end{aligned}$$

첫 번째 벡터 $\vert\gamma_0\rangle$는 단순히 주어진 양자 상태 벡터 $\vert\phi\rangle$에 새로운 시스템 $\mathsf{Z}$의 $\vert 0\rangle$을 텐서 곱한 것입니다. 두 번째 벡터 $\vert\gamma_1\rangle$은 본질적으로 정리를 자명하게 만드는 양자 상태 벡터입니다. 적어도 $\mathsf{Y}$를 $\mathsf{Z}$로 대체한다면 그렇습니다. $\mathsf{Z}$에 대한 표준 기저 측정은 명백히 각 결과 $a$를 확률 $p_a$로 산출하고, 이 결과를 얻는 조건 하에서 $\mathsf{X}$의 상태는 $\vert\psi_a\rangle$이 되기 때문입니다.

쌍 $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$를 $\mathsf{X}$를 남기고 부분 추적할 수 있는 단일 복합 시스템으로 생각하면, 다음 상태의 두 가지 서로 다른 정화를 발견했음을 알 수 있습니다.

$$\rho = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

구체적으로, 첫 번째 정화에 대해서는

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_0\rangle\langle\gamma_0\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert) = \rho$$

이고, 두 번째 정화에 대해서는

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_1\rangle\langle\gamma_1\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\sqrt{p_b} \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert \operatorname{Tr}(\vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert a\rangle\langle b\vert)\\ & = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert\\ & = \rho. \end{aligned}$$

따라서 정화의 유니터리 동치성에 의해,

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert \gamma_0 \rangle = \vert\gamma_1\rangle$$

을 만족하는 $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$에 대한 유니터리 연산 $U$가 반드시 존재합니다.

이 유니터리 연산 $U$를 사용하여 다음 그림과 같이 정리의 요건을 만족하는 측정을 구현할 수 있습니다. 말로 설명하면, $\vert 0\rangle$ 상태로 초기화된 새 시스템 $\mathsf{Z}$를 도입하고, $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$에 $U$를 적용하여 $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$의 상태를 $\vert\gamma_0\rangle$에서 $\vert\gamma_1\rangle$로 변환한 다음, $\mathsf{Z}$에 표준 기저 측정을 수행합니다. 이미 확인한 바와 같이 이는 원하는 결과를 제공합니다.

그림의 점선 사각형은 이 측정의 구현을 나타내며, 다음과 같이 양반정치 행렬 $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$의 모음으로 설명할 수 있습니다.

$$P_a = (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \langle 0\vert) U^{\dagger} (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle\langle a \vert)U (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert 0\rangle)$$