양자 상태 판별 및 톰그래피

마지막 부분에서는 측정과 관련된 두 가지 작업을 간단히 살펴봅시다: 양자 상태 판별 및 양자 상태 톰그래피.

1. 양자 상태 판별

   양자 상태 판별을 위해서는 알려진 양자 상태 컬렉션 $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$과 이러한 상태와 관련된 확률 $p_0,\ldots,p_{m-1}$이 있습니다. 이를 간단히 표현하는 방법은 우리가 양자 상태의 앙상블을 가지고 있다고 말하는 것입니다.

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   수이다.

   숫자 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$은 확률 $(p_0,\ldots,p_{m-1})$에 따라 무작위로 선택되고, 시스템 $\mathsf{X}$는 상태 $\rho_a$로 준비됩니다. 목표는 $\mathsf{X}$의 측정만을 통해 어떤 $a$ 값이 선택되었는지 결정하는 것입니다.

   따라서 우리는 유한한 수의 선택지를 가지고 있으며, 사전 정보를 가지고 있습니다. 이는 각 $a$가 선택될 확률에 대한 우리의 지식입니다. 그리고 목표는 어떤 선택지가 실제로 발생했는지 결정하는 것입니다. 이는 상태와 확률의 특정 선택에 따라 쉬울 수도 있고, 오류를 범할 기회 없이는 불가능할 수도 있습니다.

2. 양자 상태 톰그래피

   양자 상태 톰그래피의 경우 우리는 시스템의 미지의 양자 상태를 가지고 있습니다. 따라서 양자 상태 판별과는 달리, 일반적으로 사전 정보나 가능한 선택지에 대한 정보가 없습니다.

   이번에는 상태의 단일 복사본이 제공되는 것이 아니라, 많은 독립적인 복사본이 제공됩니다. 즉, $N$개의 동일한 시스템 $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$이 각각 독립적으로 어떤 (아마도 크기가 큰) 수 $N$에 대해 상태 $\rho$로 준비됩니다. 목표는 시스템을 측정함으로써 밀도 행렬로서 미지의 상태의 근사를 찾는 것입니다.

두 상태 간의 판별

양자 상태 판별의 가장 단순한 경우는 두 상태 $\rho_0$과 $\rho_1$이 판별되어야 한다는 경우입니다.

비트 $a$가 무작위로 선택되는 상황을 상상해봅시다: $a = 0$일 확률은 $p$이고 $a = 1$일 확률은 $1 - p$입니다. 시스템 $\mathsf{X}$는 상태 $\rho_a$로 준비됩니다. 즉, $a$의 값에 따라 $\rho_0$ 또는 $\rho_1$로, 그리고 우리에게 주어집니다. 우리의 목표는 $\mathsf{X}$에 대한 측정을 통해 $a$의 값을 올바르게 추측하는 것입니다. 정확히 말하자면, 우리는 우리의 추측이 맞을 확률을 최대화하는 것을 목표로 합니다.

최적 측정

이 문제를 해결하기 위한 최적의 방법은 $\rho_0$과 $\rho_1$ 사이의 가중 차이에 대한 스펙트럼 분해로 시작하는데, 여기서 가중치는 해당 확률입니다.

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

이 식에서 더하기 기호가 아닌 빼기 기호를 가지고 있음을 주목하세요: 이는 가중 합이 아니라 가중 차이입니다.

정확한 추측의 확률을 최대화하려면 다음과 같이 정사영 측정 $\{\Pi_0,\Pi_1\}$을 선택할 수 있습니다. 먼저 $\{0,\ldots,n-1\}$의 요소들을 가중 차이의 해당 고유값이 음이 아닌지 또는 음수인지에 따라 두 개의 서로소 집합 $S_0$과 $S_1$로 분할합시다.

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

그러면 다음과 같이 정사영 측정을 선택할 수 있습니다.

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

($\lambda_k = 0$인 $k$ 값을 집합 $S_0$ 또는 $S_1$ 중 어느 것에 포함시킬지는 실제로 중요하지 않습니다. 여기서 우리는 이러한 값들을 $S_0$에 포함시키기로 임의로 선택하고 있습니다.)

이것은 선택된 상태의 부정확한 결정 확률을 최소화하는 상황에서 최적의 측정입니다.

정확도 확률

이제 측정 $\{\Pi_0,\Pi_1\}$의 정확도 확률을 결정할 것입니다.

시작하기 위해 우리가 $\Pi_0$과 $\Pi_1$에 대해 특정 선택을 했다는 것을 실제로 염려할 필요가 없지만, 이를 염두에 두는 것이 도움이 될 수 있습니다. 임의의 측정 $\{P_0,P_1\}$ (반드시 정사영일 필요는 없음)에 대해 정확도 확률을 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

$\{P_0,P_1\}$이 측정이라는 사실을 사용하므로, $P_1 = \mathbb{I} - P_0$이고, 우리는 이 식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

한편, 우리는 대신 $P_0 = \mathbb{I} - P_1$ 치환을 만들 수 있습니다. 이것은 값을 바꾸지 않지만, 대안의 식을 줍니다.

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

두 식은 같은 값을 가지므로, 우리는 이들을 평균화하여 이 값에 대한 또 다른 식을 얻을 수 있습니다. (두 식의 평균화는 결과 식을 단순화하는 요령일 뿐입니다.)

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

이제 정사영 $\Pi_0$과 $\Pi_1$ (위에 지정한 대로)을 각각 $P_0$과 $P_1$로 선택하는 것이 왜 말이 되는지 알 수 있습니다. 왜냐하면 그렇게 해야 최종 식의 추적을 가능한 한 크게 만들 수 있기 때문입니다. 특히,

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

따라서 추적을 취할 때, 우리는 고유값의 절대값의 합을 얻습니다. 이는 가중 차이의 추적 규범으로 알려진 것과 같습니다.

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

따라서 측정 $\{\Pi_0,\Pi_1\}$이 확률 $p$와 $1-p$로 주어진 $\rho_0$과 $\rho_1$을 올바르게 판별하는 확률은 다음과 같습니다.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

이것이 확률 $p$와 $1-p$로 주어진 $\rho_0$과 $\rho_1$을 올바르게 판별하기 위한 최적 확률이라는 사실은 일반적으로 Helstrom-Holevo 정리 (또는 때때로 Helstrom 정리라고만 함)라고 불립니다.

세 개 이상의 상태 판별

양자 상태 판별에서 세 개 이상의 상태가 있을 때, 최적 측정에 대한 폐쇄형 해가 알려져 있지 않지만, 문제를 반정부호 프로그램으로 공식화할 수 있습니다. 이를 통해 컴퓨터의 도움으로 최적 측정의 효율적인 수치 근사가 가능합니다.

또한 Holevo-Yuen-Kennedy-Lax 조건이라는 조건을 통해 주어진 측정의 최적성을 상태 판별 작업에서 검증 (또는 반박)할 수 있습니다. 특히, 앙상블에 의해 정의된 상태 판별 작업의 경우

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\},$$

측정 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$은 다음 행렬이 모든 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$에 대해 양의 반정부호인 경우에만 최적입니다.

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

예를 들어, 네 개의 사면체 상태 $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ 중 하나가 균등하게 무작위로 선택되는 양자 상태 판별 작업을 고려합시다. 사면체 측정 $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$의 성공 확률은

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

이것은 계산이 보여주듯이 Holevo-Yuen-Kennedy-Lax 조건에 의해 최적입니다.

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

$a = 0,1,2,3$에 대해.

양자 상태 톰그래피

마지막으로, 우리는 양자 상태 톰그래피의 문제를 간단히 논의할 것입니다. 이 문제를 위해, 우리는 미지의 양자 상태 $\rho$의 많은 수 $N$의 독립적인 복사본이 주어지고, 목표는 $\rho$의 근사 $\tilde{\rho}$를 재구성하는 것입니다. 명확히 하자면, 이는 $\rho$에 가능한 한 가까운 밀도 행렬 $\tilde{\rho}$의 고전적 설명을 찾기를 원한다는 것을 의미합니다.

우리는 다음과 같은 방식으로 설정을 대안으로 설명할 수 있습니다. 미지의 밀도 행렬 $\rho$가 선택되고, 우리는 $N$개의 양자 시스템 $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$에 접근할 수 있는데, 각각은 상태 $\rho$로 독립적으로 준비되었습니다. 따라서 복합 시스템 $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$의 상태는

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ times)}$$

목표는 시스템 $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$에 대해 측정을 수행하고, 해당 측정의 결과에 기반하여, $\rho$를 밀접하게 근사하는 밀도 행렬 $\tilde{\rho}$를 계산하는 것입니다. 이것은 흥미로운 문제로 판명되었으며, 이에 대한 지속적인 연구가 있습니다.

문제에 접근하기 위한 다양한 유형의 전략을 고려할 수 있습니다. 예를 들어, 각 시스템 $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$이 차례대로 별도로 측정되어 측정 결과의 시퀀스를 생성하는 전략을 상상할 수 있습니다. 적응적 및 비적응적 선택을 포함하여 수행되는 측정에 대한 다양한 특정 선택을 할 수 있습니다. 즉, 특정 시스템에서 수행되는 측정의 선택은 이전 측정의 결과에 따라 달라질 수도 있고 아닐 수도 있습니다. 측정 결과 시퀀스에 기반하여, 상태 $\rho$에 대한 추측 $\tilde{\rho}$가 도출됩니다. 이를 수행하기 위한 다양한 방법론도 있습니다.

대안적 접근 방식은 전체 컬렉션의 단일 공동 측정을 수행하는 것입니다. 이때 우리는 $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$을 단일 시스템으로 생각하고 상태 $\rho$에 대한 추측 $\tilde{\rho}$인 출력을 가진 단일 측정을 선택합니다. 이것은 개별 시스템의 별도 측정에 대해 가능한 것에 비해 개선된 추정을 초래할 수 있지만, 모든 시스템에서 함께 공동 측정을 수행하는 것은 구현하기가 훨씬 더 어려울 가능성이 있습니다.

Pauli 측정을 사용한 qubit 톰그래피

이제 $\rho$가 qubit 밀도 행렬인 간단한 경우에서 양자 상태 톰그래피를 고려할 것입니다. 우리는 qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$이 각각 독립적으로 상태 $\rho$에 있고, 우리의 목표는 $\rho$에 가까운 근사 $\tilde{\rho}$를 계산하는 것으로 가정합니다.

우리의 전략은 $N$개의 qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$을 세 개의 대략 동일한 크기의 컬렉션으로 나누는 것입니다. 각각은 세 개의 Pauli 행렬 $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ 및 $\sigma_z$ 중 하나와 관련됩니다. 각 Qubit은 다음과 같이 독립적으로 측정됩니다.

1. $\sigma_x$와 관련된 컬렉션의 각 Qubit에 대해 우리는 $\sigma_x$ 측정을 수행합니다. 이는 Qubit이 $\sigma_x$의 정규직교 고유벡터 기저인 기저 $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\}$에 대해 측정됨을 의미하며, 해당 측정 결과는 두 고유벡터와 관련된 고유값입니다: 상태 $\vert + \rangle$에 대해 $+1$이고 상태 $\vert -\rangle$에 대해 $-1$입니다. $\sigma_x$와 관련된 컬렉션의 모든 상태에 대해 결과를 평균화함으로써, 우리는 기댓값의 근사를 얻습니다.

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. $\sigma_y$와 관련된 컬렉션의 각 Qubit에 대해 우리는 $\sigma_y$ 측정을 수행합니다. 그러한 측정은 $\sigma_x$ 측정과 유사하지만, 측정 기저는 $\sigma_y$의 고유벡터인 $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\}$입니다. $\sigma_y$와 관련된 컬렉션의 모든 상태에 대해 결과를 평균화함으로써, 우리는 기댓값의 근사를 얻습니다.

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. $\sigma_z$와 관련된 컬렉션의 각 Qubit에 대해 우리는 $\sigma_z$ 측정을 수행합니다. 이번에 측정 기저는 표준 기저인 $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\}$이며, 이는 $\sigma_z$의 고유벡터입니다. $\sigma_z$와 관련된 컬렉션의 모든 상태에 대해 결과를 평균화함으로써, 우리는 기댓값의 근사를 얻습니다.

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

근사를 얻은 후

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

각 컬렉션에 대한 측정 결과를 평균화함으로써, 우리는 $\rho$를 다음과 같이 근사할 수 있습니다.

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

$N$이 무한대로 접근함에 따라, 이 근사는 큰 수의 법칙에 의해 확률적으로 참 밀도 행렬 $\rho$로 수렴하며, 잘 알려진 통계적 한계 (예: Hoeffding 부등식)를 사용하여 근사 $\tilde{\rho}$가 다양한 양만큼 $\rho$에서 벗어날 확률을 제한할 수 있습니다.

그러나 인식해야 할 중요한 점은 이러한 방식으로 얻은 행렬 $\tilde{\rho}$이 밀도 행렬이 아닐 수 있다는 것입니다. 특히, 추적이 항상 $1$과 같을 수 있지만, 양의 반정부호이지 않을 수 있습니다. 그러한 근사 $\tilde{\rho}$를 밀도 행렬로 "반올림"하기 위한 다양한 알려진 전략이 있으며, 그 중 하나는 스펙트럼 분해를 계산하고, 음수 고유값을 $0$으로 바꾸고, 그 다음 (얻은 행렬을 그 추적으로 나누어) 정규화하는 것입니다.

사면체 측정을 사용한 qubit 톰그래피

Qubit 톰그래피를 수행하기 위한 또 다른 옵션은 모든 qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$을 앞에서 설명한 사면체 측정 $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$를 사용하여 측정하는 것입니다. 즉,

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

여기서

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

각 결과는 특정 횟수로 얻어지는데, 각 $a\in\{0,1,2,3\}$에 대해 이를 $n_a$로 표시하겠습니다. 따라서 $n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N$입니다. 이러한 숫자와 $N$의 비율은 각 가능한 결과와 관련된 확률의 추정을 제공합니다:

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

마지막으로, 우리는 다음의 놀라운 공식을 사용할 것입니다:

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

이 공식을 확립하기 위해, 우리는 사면체 상태의 내적의 절대값 제곱에 대한 다음 방정식을 사용할 수 있습니다. 이는 직접 계산을 통해 확인할 수 있습니다.

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

네 개의 행렬

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

은 선형 독립이므로, $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ (여기서 $b = 0,1,2,3$)일 때 공식이 참임을 증명하는 것으로 충분합니다. 특히,

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

따라서

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

우리는 $\rho$의 근사에 도달합니다:

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

이 근사는 항상 추적이 1과 같은 Hermitian 행렬일 것입니다. 그러나 양의 반정부호이지 않을 수 있습니다. 이 경우, 근사는 Pauli 측정을 포함하는 전략과 유사하게 밀도 행렬로 "반올림"되어야 합니다.