측정의 수학적 공식화

이 강의는 측정에 대한 두 가지 동등한 수학적 설명으로 시작합니다.

1. 일반 측정은 각 측정 결과에 대응하는 행렬들의 모음으로 설명할 수 있으며, 이는 사영 측정 설명을 일반화한 것입니다.
2. 일반 측정은 출력이 항상 고전 상태(대각 밀도 행렬로 표현)인 채널로 설명할 수 있습니다.

여기서는 가능한 결과의 수가 유한한 측정에 집중합니다. 결과가 무한히 많은 측정도 정의할 수 있지만, 계산 및 정보 처리의 맥락에서는 훨씬 드물게 등장하며, 이를 엄밀하게 형식화하려면 추가적인 수학(즉, 측도론)이 필요합니다.

처음에는 소위 파괴적 측정에 집중합니다. 파괴적 측정에서 측정의 출력은 고전적인 측정 결과만이며, 측정된 시스템의 측정 후 양자 상태에 대한 명시는 없습니다. 직관적으로 말하면, 이러한 측정은 양자 시스템 자체를 파괴하거나, 측정이 이루어지자마자 시스템이 즉시 폐기된다고 상상할 수 있습니다. 강의 후반부에서는 시야를 넓혀 비파괴적 측정을 고려할 것인데, 여기서는 고전적인 측정 결과와 측정된 시스템의 측정 후 양자 상태가 모두 존재합니다.

행렬들의 모음으로서의 측정

$\mathsf{X}$가 측정될 시스템이라고 하고, 단순화를 위해 $\mathsf{X}$의 고전 상태 집합이 어떤 양의 정수 $n$에 대해 $\{0,\ldots, n-1\}$이라고 가정합니다. 따라서 $\mathsf{X}$의 양자 상태를 나타내는 밀도 행렬은 $n\times n$ 행렬입니다. $\mathsf{X}$의 고전 상태를 직접 참조할 필요는 많지 않지만, $n$, 즉 $\mathsf{X}$의 고전 상태 수를 언급하는 것이 편리합니다. 또한 측정의 가능한 결과가 어떤 양의 정수 $m$에 대해 정수 $0,\ldots,m-1$이라고 가정합니다.

이 명칭은 단순함을 위해 사용한 것입니다. 이후에 나오는 모든 내용을 다른 유한한 고전 상태 집합과 측정 결과 집합으로 일반화하고 원하는 대로 이름을 바꾸는 것은 간단합니다.

사영 측정

사영 측정은 항등 행렬로 합산되는 사영 행렬들의 모음으로 설명된다는 것을 상기해 봅시다. 기호로 나타내면,

$$\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$$

는 각 $\Pi_a$가 $n\times n$ 사영 행렬이고 다음 조건을 만족할 때 $\mathsf{X}$의 사영 측정을 설명합니다.

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

어떤 양자 상태 벡터 $\vert\psi\rangle$로 설명되는 상태에 있는 시스템 $\mathsf{X}$에 이러한 측정을 수행하면, 각 결과 $a$는 $\|\Pi_a\vert\psi\rangle\|^2$과 같은 확률로 얻어집니다. 또한 $\mathsf{X}$의 측정 후 상태는 벡터 $\Pi_a\vert\psi\rangle$을 정규화하여 얻지만, 지금은 측정 후 상태를 무시합니다.

$\mathsf{X}$의 상태가 양자 상태 벡터 $\vert\psi\rangle$ 대신 밀도 행렬 $\rho$로 설명된다면, 결과 $a$를 얻을 확률을 $\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho)$로 표현할 수도 있습니다.

$\rho = \vert \psi\rangle\langle\psi\vert$가 순수 상태라면, 두 표현은 동일합니다.

$$\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho) = \operatorname{Tr}(\Pi_a \vert \psi\rangle\langle\psi \vert) = \langle \psi \vert \Pi_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Pi_a \Pi_a \vert \psi \rangle = \|\Pi_a\vert\psi\rangle\|^2.$$

여기서 두 번째 등호에는 대각합의 순환 성질을 사용하고, 세 번째 등호에는 각 $\Pi_a$가 사영 행렬이므로 $\Pi_a^2 = \Pi_a$를 만족한다는 사실을 사용합니다.

일반적으로 $\rho$가 다음과 같은 볼록 결합

$$\rho = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \vert \psi_k\rangle\langle \psi_k \vert$$

으로 순수 상태들로 표현될 때, 이 표현이 $\rho$에 대해 선형이라는 사실 덕분에 $\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho)$는 결과 $a$에 대한 평균 확률과 일치합니다.

$$\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \operatorname{Tr}(\Pi_a \vert \psi_k\rangle\langle\psi_k\vert) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \|\Pi_a\vert\psi_k\rangle\|^2$$

일반 측정

일반 측정에 대한 수학적 설명은 사영 측정의 정의를 완화하여 얻습니다. 구체적으로, 측정을 설명하는 모음의 행렬들이 사영 행렬이 아닌 임의의 양의 준정부호 행렬이어도 됩니다. (사영 행렬은 항상 양의 준정부호입니다. 또한 고유값이 모두 0 또는 1인 양의 준정부호 행렬로 정의할 수도 있습니다.)

특히, 결과가 $0,\ldots,m-1$인 시스템 $\mathsf{X}$의 일반 측정은 행과 열이 $\mathsf{X}$의 고전 상태에 대응하고 다음 조건을 만족하는 양의 준정부호 행렬들의 모음 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$으로 명세됩니다.

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

시스템 $\mathsf{X}$가 밀도 행렬 $\rho$로 설명되는 상태에 있을 때 측정을 수행하면, 각 결과 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$는 확률 $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$로 나타납니다.

당연히 요구되는 바와 같이, 결과 확률 벡터

$$\bigl(\operatorname{Tr}(P_0 \rho),\ldots,\operatorname{Tr}(P_{m-1} \rho)\bigr)$$

는 어떤 밀도 행렬 $\rho$를 선택하더라도 항상 확률 벡터를 이룹니다. 다음 두 가지 관찰을 통해 이를 확인할 수 있습니다.

1. 두 양의 준정부호 행렬의 곱의 대각합은 항상 음이 아니라는 사실 덕분에 각 값 $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$는 음이 아닙니다.

   $$Q, R \geq 0 \; \Rightarrow \: \operatorname{Tr}(QR) \geq 0.$$

   이 사실을 논증하는 한 가지 방법은 $Q$와 $R$의 스펙트럼 분해와 대각합의 순환 성질을 이용하여 $QR$의 대각합을 음이 아닌 실수의 합으로 표현하는 것입니다.

2. 조건 $P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$와 대각합의 선형성으로 인해 확률들의 합이 $1$이 됩니다.

   $$\sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) = \operatorname{Tr}\Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \rho\Biggr) = \operatorname{Tr}(\mathbb{I}\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

예시 1: 임의의 사영 측정

사영 행렬은 항상 양의 준정부호이므로 모든 사영 측정은 일반 측정의 예입니다.

예를 들어, Qubit의 표준 기저 측정은 다음과 같은 $\{P_0,P_1\}$로 나타낼 수 있습니다.

$$P_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad P_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

상태 $\rho$에 있는 Qubit를 측정하면 결과 확률은 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} \operatorname{Prob}(\text{outcome} = 0) & = \operatorname{Tr}(P_0 \rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho\bigr) = \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle \\[1mm] \operatorname{Prob}(\text{outcome} = 1) & = \operatorname{Tr}(P_1 \rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\rho\bigr) = \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

예시 2: 비사영 qubit 측정

$\mathsf{X}$가 Qubit라고 하고 두 행렬을 다음과 같이 정의합니다.

$$P_0 = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[2mm] \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \qquad P_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[2mm] -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$$

이 둘은 모두 양의 준정부호 행렬입니다. 에르미트 행렬이며, 두 경우 모두 고유값이 $1/2 \pm \sqrt{5}/6$으로 모두 양수입니다. 또한 $P_0 + P_1 = \mathbb{I}$이므로 $\{P_0,P_1\}$은 하나의 측정을 설명합니다.

$\mathsf{X}$의 상태가 밀도 행렬 $\rho$로 설명되고 이 측정을 수행하면, 결과 $0$을 얻을 확률은 $\operatorname{Tr}(P_0 \rho)$이고 결과 $1$을 얻을 확률은 $\operatorname{Tr}(P_1 \rho)$입니다. 예를 들어 $\rho = \vert + \rangle \langle + \vert$이면 두 결과 $0$과 $1$에 대한 확률은 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}(P_0 \rho) & = \operatorname{Tr}\left( \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[2mm] \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \right)\\[4mm] & = \biggl(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\biggr) + \biggl(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\biggr)\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\\[4mm] \operatorname{Tr}(P_1 \rho) & = \operatorname{Tr}\left( \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[2mm] -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \right)\\[4mm] & = \biggl(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\biggr) + \biggl(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\biggr)\\ & = 0 + \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \end{aligned}$$

예시 3: 사면체 측정

단일 qubit 양자 상태 벡터 네 개를 다음과 같이 정의합니다.

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert\phi_1\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1\rangle \\ \vert\phi_2\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1\rangle \\ \vert\phi_3\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1\rangle \end{aligned}$$

이 네 상태는 블로흐 구에 내접하는 정사면체의 꼭짓점이기 때문에 사면체 상태라고도 불립니다.

블로흐 구 위에서 이 네 상태의 데카르트 좌표는 다음과 같습니다.

$$(0,0,1),\\[2mm] \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} , 0 , -\frac{1}{3} \right),\\[1mm] \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} , \sqrt{\frac{2}{3}} , -\frac{1}{3} \right),\\[1mm] \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} , -\sqrt{\frac{2}{3}} , -\frac{1}{3} \right),$$

이는 이 상태들의 밀도 행렬 표현을 파울리 행렬의 선형 결합으로 나타내어 검증할 수 있습니다.

$$\vert \phi_0 \rangle\langle \phi_0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_1 \rangle\langle \phi_1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} \\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \sigma_x - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_2 \rangle\langle \phi_2 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{6}} \\[2mm] -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} - \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_x + \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_3 \rangle\langle \phi_3 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \\[2mm] -\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} - \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_x - \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$

이 네 상태는 블로흐 구 위에 고르게 분포되어 있어, 각각이 나머지 셋으로부터 같은 거리에 있고 임의의 두 상태 사이의 각도가 항상 같습니다.

이제 각 $a=0,\ldots,3$에 대해 $P_a$를 다음과 같이 설정하여 Qubit의 측정 $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$을 정의합니다.

$$P_a = \frac{\vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert}{2}$$

이것이 유효한 측정임을 다음과 같이 검증할 수 있습니다.

1. 각 $P_a$는 순수 상태를 절반으로 나눈 것이므로 명백히 양의 준정부호입니다. 즉, 각각은 에르미트 행렬이며 하나의 고유값은 $1/2$이고 나머지 고유값은 모두 0입니다.
2. 이 행렬들의 합은 항등 행렬입니다: $P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = \mathbb{I}.$ 이 행렬들을 파울리 행렬의 선형 결합으로 표현하면 이를 간단히 검증할 수 있습니다.

채널로서의 측정

측정을 수학적으로 기술하는 두 번째 방법은 채널로 표현하는 것입니다.

고전 정보는 양자 정보의 특수한 경우로 볼 수 있습니다. 확률적 상태를 대각 밀도 행렬과 동일시할 수 있기 때문입니다. 따라서 연산적 관점에서 측정은 측정 대상 시스템의 상태를 기술하는 행렬을 입력으로 받아 측정 결과의 분포를 기술하는 대각 밀도 행렬을 출력하는 채널로 생각할 수 있습니다.

이러한 성질을 갖는 채널은 언제나 양의 반정치 행렬들의 모음으로서의 측정 기술과 직접적으로 연결되는 단순한 표준 형태로 쓸 수 있음을 곧 살펴볼 것입니다. 역으로, 행렬들의 모음으로 주어진 임의의 측정에 대해서도, 앞 단락에서 제안한 것처럼 해당 측정을 기술하는 대각 출력 성질을 갖는 유효한 채널이 항상 존재합니다. 이 두 관찰을 종합하면, 일반 측정에 대한 두 기술 방식이 동치임을 알 수 있습니다.

더 나아가기 전에, 측정과 그것을 채널로 보는 방식, 그리고 우리가 취하는 가정들을 보다 정확히 정의해 봅시다.

앞에서와 마찬가지로, $\mathsf{X}$를 측정할 시스템으로 놓고, 측정의 가능한 결과는 어떤 양의 정수 $m$에 대해 정수 $0,\ldots,m-1$이라고 가정합니다. 측정 결과를 저장하는 시스템을 $\mathsf{Y}$라 하면, 그 고전 상태 집합은 $\{0,\ldots,m-1\}$이 되며, 측정을 $\mathsf{X}$에서 $\mathsf{Y}$로의 채널 $\Phi$로 표현합니다. 여기서의 가정은 $\mathsf{Y}$가 고전적이라는 것, 즉 $\mathsf{X}$에 어떤 상태를 시작 상태로 사용하더라도 $\mathsf{Y}$의 결과 상태는 항상 대각 밀도 행렬로 표현된다는 것입니다.

$\Phi$의 출력이 항상 대각임을 수학적으로 표현하는 방법은 다음과 같습니다. 먼저 $\mathsf{Y}$ 위에서의 완전 위상 제거 채널 $\Delta_m$을 정의합니다.

$$\Delta_m(\sigma) = \sum_{a = 0}^{m-1} \langle a \vert \sigma \vert a\rangle \,\vert a\rangle\langle a\vert$$

이 채널은 이전 단원에서 다룬 완전 위상 제거 qubit 채널 $\Delta$와 유사합니다. 선형 사상으로서, 입력 행렬의 모든 비대각 원소를 0으로 만들고 대각 원소는 그대로 유지합니다.

이제 주어진 밀도 행렬 $\sigma$가 대각임을 간단히 표현하는 방법은 $\sigma = \Delta_m(\sigma)$라는 등식입니다. 즉, 밀도 행렬의 모든 비대각 원소를 0으로 만드는 것이 아무런 효과가 없을 조건은, 처음부터 비대각 원소가 모두 0인 경우에 한합니다. 따라서 채널 $\Phi$가 우리의 가정, 즉 $\mathsf{Y}$가 고전적이라는 조건을 만족할 필요충분조건은

$$\Phi(\rho) = \Delta_m(\Phi(\rho))$$

가 $\mathsf{X}$의 상태를 기술하는 모든 밀도 행렬 $\rho$에 대해 성립하는 것입니다.

두 기술 방식의 동치성

채널에서 행렬로

$\mathsf{X}$에서 $\mathsf{Y}$로의 채널이

$$\Phi(\rho) = \Delta_m(\Phi(\rho))$$

를 모든 밀도 행렬 $\rho$에 대해 만족한다고 가정합니다. 이를 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \langle a \vert \Phi(\rho) \vert a\rangle\, \vert a\rangle\langle a \vert \tag{1}$$

모든 채널과 마찬가지로, Kraus 행렬 $A_0,\ldots,A_{N-1}$을 적절히 선택하여 $\Phi$를 Kraus 형태로 표현할 수 있습니다.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

이를 통해 $\Phi(\rho)$의 대각 원소에 대한 다른 표현을 얻을 수 있습니다.

$$\begin{aligned} \langle a \vert \Phi(\rho) \vert a\rangle & = \sum_{k = 0}^{N-1} \langle a \vert A_k \rho A_k^{\dagger} \vert a\rangle \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \operatorname{Tr}\bigl( A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k \rho\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}\bigl(P_a\rho\bigr) \end{aligned}$$

여기서

$$P_a = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k.$$

따라서 이 행렬들 $P_0,\ldots,P_{m-1}$을 사용하여 채널 $\Phi$를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) \vert a\rangle\langle a\vert$$

이 표현은 행렬들의 모음으로서의 일반 측정 기술과 일치하며, 각 측정 결과가 확률 $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$로 나타남을 볼 수 있습니다.

이제 일반 측정을 기술하기 위해 행렬들의 모음 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$에 요구되는 두 가지 성질이 실제로 만족됨을 확인합시다. 첫 번째 성질은 이들이 모두 양의 반정치 행렬이라는 것입니다. 이를 확인하는 한 가지 방법은, $\mathsf{X}$의 고전 상태에 대응하는 원소를 갖는 임의의 벡터 $\vert \psi\rangle$에 대해 다음이 성립함을 관찰하는 것입니다.

$$\langle \psi \vert P_a \vert \psi\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \langle \psi \vert A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k\vert \psi\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \bigl\vert\langle a \vert A_k\vert \psi\rangle\bigr\vert^2 \geq 0.$$

두 번째 성질은 이 행렬들을 모두 더하면 항등 행렬이 된다는 것입니다.

$$\begin{aligned} \sum_{a = 0}^{m-1} P_a & = \sum_{a = 0}^{m-1} \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert\Biggr) A_k \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \end{aligned}$$

마지막 등식은 $\Phi$가 채널이므로 그 Kraus 행렬들이 이 조건을 만족해야 한다는 사실에서 비롯됩니다.

행렬에서 채널로

이제 $P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$를 만족하는 양의 반정치 행렬들의 임의의 모음 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$에 대해, 다음과 같이 정의되는 사상이

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) \vert a \rangle\langle a\vert$$

실제로 $\mathsf{X}$에서 $\mathsf{Y}$로의 유효한 채널임을 검증해 봅시다.

이를 확인하는 한 가지 방법은 이 사상의 Choi 표현을 계산하는 것입니다.

$$\begin{aligned} J(\Phi) & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \vert b \rangle \langle c \vert \otimes \Phi(\vert b \rangle \langle c \vert)\\[1mm] & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \sum_{a = 0}^{m-1} \vert b \rangle \langle c \vert \otimes \operatorname{Tr}(P_a \vert b \rangle \langle c \vert) \vert a \rangle\langle a\vert\\[1mm] & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \sum_{a = 0}^{m-1} \vert b \rangle \langle b \vert P_a^T \vert c \rangle \langle c \vert \otimes \vert a \rangle\langle a\vert\\[1mm] & = \sum_{a = 0}^{m-1} P_a^T \otimes \vert a \rangle\langle a\vert \end{aligned}$$

세 번째 등식에서 각 $P_a$의 전치 행렬이 등장하는 이유는

$$\langle c \vert P_a \vert b\rangle = \langle b \vert P_a^T \vert c\rangle$$

이기 때문입니다.

이를 통해 $\vert b \rangle \langle b \vert$와 $\vert c \rangle \langle c \vert$ 항이 나타나게 되며, 각각 $b$와 $c$에 대해 합산하면 항등 행렬로 단순화됩니다.

$P_0,\ldots,P_{m-1}$이 양의 반정치 행렬이라는 가정에 의해, $P_0^{T},\ldots,P_{m-1}^{T}$ 역시 양의 반정치 행렬입니다. 특히, 에르미트 행렬을 전치하면 에르미트 행렬이 되고, 임의의 정방 행렬과 그 전치 행렬의 고유값은 항상 일치합니다. 따라서 $J(\Phi)$는 양의 반정치 행렬입니다. 출력 시스템 $\mathsf{Y}$(오른쪽 시스템)에 대해 부분 대각합을 취하면

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \sum_{a = 0}^{m-1} P_a^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

이므로 $\Phi$가 채널임을 결론 지을 수 있습니다.

부분 측정

여러 시스템이 집합적으로 양자 상태에 있을 때, 그 중 하나의 시스템에 대해 일반 측정을 수행한다고 가정합시다. 이 경우 측정 결과 중 하나가 무작위로 얻어지며, 그 확률은 측정 전 시스템의 상태와 측정 방식에 따라 결정됩니다. 얻어진 측정 결과에 따라, 나머지 시스템들의 결과 상태는 일반적으로 달라집니다.

시스템 $\mathsf{X}$를 측정할 때, 시스템 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$에 대해 이것이 어떻게 작동하는지 살펴봅시다. ($\mathsf{Y}$는 채널로 볼 때 측정의 고전적 출력을 나타내는 시스템으로 사용할 것이므로, 오른쪽 시스템의 이름을 $\mathsf{Z}$로 지정합니다.) 이후 시스템의 순서가 바뀌는 경우나 세 개 이상의 시스템이 있는 경우로 쉽게 일반화할 수 있습니다.

측정 전 $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$의 상태가 밀도 행렬 $\rho$로 기술된다고 가정하면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\rho = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \vert b\rangle\langle c\vert \otimes \rho_{b,c}$$

이 식에서 $\mathsf{X}$의 고전 상태는 $0,\ldots,n-1$이라고 가정합니다.

측정 자체는 행렬 모음 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$로 기술된다고 가정합니다. 이 측정은 $\mathsf{X}$에서 $\mathsf{Y}$로의 채널 $\Phi$로도 표현할 수 있으며, 여기서 $\mathsf{Y}$는 고전 상태 집합 $\{0,\ldots,m-1\}$을 가지는 새로운 시스템입니다. 구체적으로, 이 채널의 작용은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$\Phi(\xi) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \xi)\, \vert a \rangle \langle a \vert$$

결과 확률

우리는 시스템 $\mathsf{X}$에 대한 측정을 고려하고 있으므로, 서로 다른 측정 결과가 얻어질 확률은 오직 $\mathsf{X}$의 축소 상태 $\rho_{\mathsf{X}}$에만 의존합니다. 특히, 각 결과 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$이 나타날 확률은 다음 세 가지 동등한 방식으로 표현할 수 있습니다.

$$\operatorname{Tr}\bigl( P_a \rho_{\mathsf{X}}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( P_a \operatorname{Tr}_{\mathsf{Z}}(\rho)\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( (P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho \bigr)$$

첫 번째 식은 단일 시스템 측정에 대해 이미 알고 있는 내용을 바탕으로 결과 $a$를 얻을 확률을 자연스럽게 나타냅니다. 두 번째 식은 정의 $\rho_{\mathsf{X}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Z}}(\rho)$를 그대로 사용한 것입니다.

세 번째 식을 얻기 위해서는 더 많은 생각이 필요합니다. 학습자들이 스스로 이를 확인해 보시길 권장합니다. 힌트: 두 번째와 세 번째 식의 동치 관계는 $\rho$가 밀도 행렬이거나 각 $P_a$가 양의 반정치(positive semidefinite)일 필요가 없습니다. 먼저 $\rho = M\otimes N$ 형태의 텐서 곱에 대해 증명한 후, 선형성에 의해 일반적인 경우에도 성립함을 결론 내려 보세요.

앞의 식에서 첫 번째와 세 번째 식이 동치라는 것이 바로 와닿지 않을 수도 있지만, 직관적으로는 이해가 됩니다. $\mathsf{X}$에 대한 측정으로부터 시작하여, $\mathsf{Z}$는 버리고 $\mathsf{X}$만 측정하는 $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$에 대한 측정을 효과적으로 정의하는 것입니다. 모든 측정과 마찬가지로 이 새로운 측정도 행렬 모음으로 기술할 수 있으며, 이 측정이 다음 모음으로 기술된다는 것은 놀랍지 않습니다.

$$\{P_0\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}, \ldots, P_{m-1}\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}\}.$$

측정 결과에 따른 조건부 상태

서로 다른 결과의 확률뿐만 아니라, 각 측정 결과에 조건부로 주어지는 $\mathsf{Z}$의 결과 상태도 알고 싶다면, 측정의 채널 표현을 살펴보면 됩니다. 구체적으로, $\Phi$를 $\mathsf{X}$에 적용하고 $\mathsf{Z}$에는 아무것도 하지 않을 때 얻어지는 상태를 살펴봅시다.

$$\begin{aligned} (\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}})(\rho) & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \Phi(\vert b\rangle\langle c\vert) \otimes \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}(P_a \vert b\rangle\langle c\vert) \,\vert a\rangle \langle a \vert \otimes \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}(P_a \vert b\rangle\langle c\vert) \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) (\vert b\rangle\langle c\vert\otimes\rho_{b,c})\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho\bigr) \end{aligned}$$

이것이 밀도 행렬인 것은 $\Phi$가 채널이라는 사실 덕분입니다. 따라서 각 행렬 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$는 반드시 양의 반정치 행렬입니다.

마지막 한 단계를 더 거치면 우리가 찾고 있는 것을 드러내는 식으로 변환됩니다.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}{\operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}$$

이것은 *고전-양자 상태(classical-quantum state)*의 예로,

$$\sum_{a = 0}^{m-1} p(a)\, \vert a\rangle\langle a\vert \otimes \sigma_a,$$

밀도 행렬 강의에서 보았던 것과 같습니다. 각 측정 결과 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$에 대해, 확률

$$p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$$

로 $\mathsf{Y}$가 고전 상태 $\vert a \rangle \langle a \vert$에 있고 $\mathsf{Z}$가 다음 상태에 있습니다.

$$\sigma_a = \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}{\operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}. \tag{2}$$

즉, 이것은

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$$

를 그 대각합(trace)으로 나누어 정규화함으로써 얻어지는 밀도 행렬입니다. (엄밀히 말하면, 상태 $\sigma_a$는 확률 $p(a)$가 0이 아닐 때만 정의됩니다. $p(a) = 0$인 경우, 이 상태는 확률이 0인 사건을 가리키므로 무관합니다.)

당연하게도, 결과 확률은 이전 관찰과 일치합니다.

요약하면, $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$가 상태 $\rho$에 있을 때 $\mathsf{X}$에 대해 측정 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$을 수행하면 다음과 같이 됩니다.

1. 각 결과 $a$는 확률 $p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$로 나타납니다.
2. 결과 $a$를 얻은 경우, $\mathsf{Z}$의 상태는 방정식 $(2)$에 나타난 밀도 행렬 $\sigma_a$로 표현되며, 이는 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$를 정규화하여 얻습니다.

일반화

이 설명을 시스템의 순서가 바뀌거나 세 개 이상의 시스템이 있는 경우와 같은 다른 상황에도 적용할 수 있습니다. 개념적으로는 간단하지만, 수식으로 표현하면 복잡해질 수 있습니다.

일반적으로, $r$개의 시스템 $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_r$이 있고, 복합 시스템 $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_r)$의 상태가 $\rho$이며, $\mathsf{X}_k$에 대해 측정 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$을 수행하면 다음과 같이 됩니다.

1. 각 결과 $a$는 다음 확률로 나타납니다.

   $$p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr).$$

2. 결과 $a$를 얻은 경우, $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_{k-1},\mathsf{X}_{k+1},\ldots,\mathsf{X}_r)$의 상태는 다음 밀도 행렬로 표현됩니다.

   $$\frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}_k}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr)}{\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr)}$$