나이마크 정리

*나이마크 정리(Naimark's theorem)*는 측정에 관한 근본적인 사실입니다. 이 정리는 모든 일반 측정이 채널의 Stinespring 표현을 연상시키는 단순한 방식으로 구현될 수 있다고 말합니다:

1. 측정할 시스템을 초기화된 작업공간 시스템과 결합하여 복합 시스템을 형성합니다.
2. 그런 다음 복합 시스템에 유니터리 연산을 수행합니다.
3. 마지막으로, 작업공간 시스템을 표준 기저 측정으로 측정하여 원래 일반 측정의 결과를 얻습니다.

정리의 진술과 증명

$\mathsf{X}$를 시스템이라 하고, $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$를 다음을 만족하는 양의 준정부호 행렬들의 집합이라 합시다.

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

이는 이 행렬들이 $\mathsf{X}$의 측정을 기술한다는 것을 의미합니다. 또한 $\mathsf{Y}$를 고전 상태 집합이 $\{0,\ldots,m-1\}$인 시스템이라 하면, 이는 이 측정의 가능한 결과들의 집합입니다.

나이마크 정리는 다음 그림이 제안하는 구현이 주어진 측정 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$과 일치하는 측정 결과를 산출하도록, 즉 서로 다른 가능한 측정 결과에 대한 확률이 정확히 일치하도록 복합 시스템 $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$에 대한 유니터리 연산 $U$가 존재한다고 말합니다.

명확히 하자면, 시스템 $\mathsf{X}$는 임의의 상태 $\rho$에서 시작하고, $\mathsf{Y}$는 $\vert 0\rangle$ 상태로 초기화됩니다. 유니터리 연산 $U$가 $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$에 적용된 후 시스템 $\mathsf{Y}$를 표준 기저 측정으로 측정하면 어떤 결과 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$가 나옵니다.

시스템 $\mathsf{X}$는 Circuit의 출력 일부로 그려져 있지만, 지금 당장은 $U$가 수행된 후 $\mathsf{X}$의 상태에 대해서는 신경 쓰지 않으며, 이를 추적 소거된 것으로 생각할 수 있습니다. 하지만 이 단원의 후반부에서 $U$가 수행된 후 $\mathsf{X}$의 상태에 대해 관심을 갖게 됩니다.

이런 방식으로 측정을 구현하는 것은 채널의 Stinespring 표현을 분명히 연상시키며, 수학적 기반도 유사합니다. 여기서의 차이점은 작업공간 시스템이 Stinespring 표현에서처럼 추적 소거되는 것이 아니라 측정된다는 것입니다.

모든 측정이 이런 방식으로 구현될 수 있다는 사실은 증명하기가 꽤 단순하지만, 먼저 양의 준정부호 행렬에 관한 사실이 필요합니다.

사실

$P$가 $n \times n$ 양의 준정부호 행렬이라 가정합시다. $Q^2 = P$를 만족하는 유일한 $n\times n$ 양의 준정부호 행렬 $Q$가 존재합니다. 이 유일한 양의 준정부호 행렬을 $P$의 제곱근이라 하고 $\sqrt{P}$로 표기합니다.

양의 준정부호 행렬의 제곱근을 구하는 한 가지 방법은 먼저 스펙트럼 분해를 계산하는 것입니다.

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

$P$가 양의 준정부호이므로 고유값은 음이 아닌 실수여야 하며, 고유값을 제곱근으로 대체하면 $P$의 제곱근에 대한 식을 얻습니다.

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

이 개념을 바탕으로 나이마크 정리를 증명할 준비가 되었습니다. $\mathsf{X}$가 $n$개의 고전 상태를 갖는다고 가정하면, 쌍 $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$에 대한 유니터리 연산 $U$는 $nm\times nm$ 행렬로 표현될 수 있으며, 이를 블록이 $n\times n$인 $m\times m$ 블록 행렬로 볼 수 있습니다. 증명의 핵심은 $U$를 다음 패턴과 일치하는 임의의 유니터리 행렬로 취하는 것입니다.

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

물음표로 표시된 블록을 채워 $U$가 유니터리가 되려면, 블록 $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}}$으로 구성된 처음 $n$개의 열이 정규직교여야 하며 이것이 필요충분조건입니다. 그런 다음 이전 단원에서 만났던 것처럼 그람-슈미트 정규직교화 과정을 사용하여 나머지 열을 채울 수 있습니다.

$U$의 처음 $n$개의 열은 $0$부터 시작하는 열 번호 $c = 0,\ldots,n-1$를 참조하여 다음과 같이 벡터로 표현할 수 있습니다.

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

임의의 두 열 사이의 내적은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

이는 이 열들이 실제로 정규직교임을 보여주므로, 전체 행렬이 유니터리임을 보장하는 방식으로 $U$의 나머지 열을 채울 수 있습니다.

시뮬레이션의 측정 결과 확률이 원래 측정과 일치하는지 확인하는 것이 남아 있습니다. $\mathsf{X}$의 초기 상태 $\rho$가 주어졌을 때, 집합 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$로 기술되는 측정은 각 결과 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$를 확률 $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$로 산출합니다.

시뮬레이션의 결과 확률을 구하기 위해, $U$가 수행된 후 $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$의 상태를 $\sigma$라 명명합시다. 이 상태는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

동등하게, 블록 행렬 형식으로는 다음 식이 됩니다.

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

물음표로 표시된 블록에 속하는 $U$의 원소들은 결과에 영향을 미치지 않는다는 점에 주목하세요. 이는 $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ 형태의 행렬과 켤레를 취하고 있기 때문으로 — 행렬 곱이 계산될 때 물음표 원소들은 항상 $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$의 영(零) 원소와 곱해집니다.

이제 $\mathsf{Y}$에 표준 기저 측정을 수행할 때 어떤 일이 일어나는지 분석할 수 있습니다. 가능한 결과들의 확률은 $\mathsf{Y}$의 축소 상태 $\sigma_{\mathsf{Y}}$의 대각 원소들로 주어집니다.

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

특히, 대각합의 순환 성질을 사용하면 주어진 결과 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$를 얻을 확률이 다음과 같음을 알 수 있습니다.

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

이는 원래 측정과 일치하므로 시뮬레이션의 정확성이 확립됩니다.

비파괴적 측정

이 단원에서 지금까지는 파괴적 측정, 즉 출력이 고전 측정 결과만으로 구성되고 측정된 시스템의 측정 후 양자 상태에 대한 명세가 없는 측정에 대해 살펴보았습니다.

반면에 비파괴적 측정은 바로 이것을 합니다. 구체적으로, 비파괴적 측정은 고전 측정 결과의 확률뿐만 아니라 각 가능한 측정 결과에 조건부로 측정된 시스템의 상태도 기술합니다. 비파괴적이라는 용어는 측정되는 시스템을 가리키는 것이지, 측정의 결과로 크게 변할 수 있는 상태를 가리키는 것이 아님에 주목하세요.

일반적으로, 주어진 파괴적 측정에 대해 해당 파괴적 측정과 호환 가능한, 즉 고전 측정 결과 확률이 파괴적 측정과 정확히 일치하는 비파괴적 측정이 여러 개(사실상 무한히 많이) 존재합니다. 따라서 주어진 측정에 대해 시스템의 측정 후 양자 상태를 정의하는 유일한 방법은 없습니다.

사실, 비파괴적 측정을 더 일반화하여 고전 측정 결과와 함께 반드시 입력 시스템과 동일하지 않은 시스템의 양자 상태 출력을 생성하도록 할 수 있습니다.

비파괴적 측정의 개념은 흥미롭고 유용한 추상화입니다. 그러나 비파괴적 측정은 항상 채널과 파괴적 측정의 합성으로 기술될 수 있다는 점을 인식해야 합니다 — 따라서 어떤 의미에서 파괴적 측정의 개념이 더 근본적인 것입니다.

나이마크 정리로부터

나이마크 정리에서와 같이 일반 측정의 시뮬레이션을 생각해 봅시다. 이 시뮬레이션으로부터 비파괴적 측정을 얻는 간단한 방법은 이전 그림에서 드러나는데, 여기서 시스템 $\mathsf{X}$는 추적 소거되지 않고 출력의 일부입니다. 이는 고전 측정 결과 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$와 함께 $\mathsf{X}$의 측정 후 양자 상태를 모두 산출합니다.

이 상태들을 수학적 용어로 기술해 봅시다. $\mathsf{X}$의 초기 상태가 $\rho$라고 가정하면, 초기화된 시스템 $\mathsf{Y}$가 도입되고 $U$가 수행된 후 $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$는 다음 상태에 있습니다.

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

서로 다른 고전 결과들이 나타날 확률은 이전과 동일합니다 — $\mathsf{X}$를 무시하거나 무시하지 않기로 결정해도 확률은 바뀌지 않습니다. 즉, 각 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$를 확률 $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$로 얻습니다.

특정 측정 결과 $a$를 얻은 것에 조건부로, $\mathsf{X}$의 결과 상태는 다음 식으로 주어집니다.

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

이를 보는 한 가지 방법은 $\mathsf{Y}$의 표준 기저 측정을 완전 위상 소거 채널 $\Delta_m$으로 표현하는 것으로, 이때 채널 출력은 고전 측정 결과를 (대각) 밀도 행렬로 기술합니다. 우리가 얻는 상태의 표현은 다음과 같습니다.

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

그런 다음 이 상태를 곱 상태들의 볼록 결합으로 쓸 수 있습니다.

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

이는 각 가능한 측정 결과에 조건부로 $\mathsf{X}$의 상태에 대해 얻은 식과 일치합니다.

크라우스 표현으로부터

나이마크 정리의 맥락에서 $U$에 대한 대안적인 선택들이 있는데, 이들은 동일한 측정 결과 확률을 생성하지만 $\mathsf{X}$의 완전히 다른 출력 상태를 줍니다.

예를 들어, 한 가지 옵션은 $U$ 대신 $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U$를 대입하는 것으로, 여기서 $V$는 $\mathsf{X}$에 대한 임의의 유니터리 연산입니다. $\mathsf{X}$에 $V$를 적용하는 것은 $\mathsf{Y}$의 측정과 교환 가능하므로 고전 결과 확률은 변하지 않지만, 이제 결과 $a$에 조건부로 $\mathsf{X}$의 상태는 다음이 됩니다.

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

더 일반적으로, $U$를 다음 유니터리 행렬로 대체할 수 있습니다.

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

여기서 $\mathsf{X}$에 대한 임의의 유니터리 연산 $V_0,\ldots,V_{m-1}$을 선택합니다. 마찬가지로 고전 결과 확률은 변하지 않지만, 이제 결과 $a$에 조건부로 $\mathsf{X}$의 상태는 다음이 됩니다.

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

이 자유도를 표현하는 동등한 방법은 크라우스 표현과 연결됩니다. 즉, $n$개의 고전 상태를 갖는 시스템의 $m$-결과 비파괴적 측정을 크라우스 행렬에 대한 전형적인 조건을 만족하는 $n\times n$ 크라우스 행렬 $A_0,\ldots,A_{m-1}$의 선택으로 기술할 수 있습니다.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

$\mathsf{X}$의 초기 상태가 $\rho$라고 가정하면, 고전 측정 결과는 다음 확률로 $a$가 됩니다.

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

그리고 결과가 $a$인 것에 조건부로 $\mathsf{X}$의 상태는 다음이 됩니다.

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

이는 나이마크 정리에서 유니터리 연산 $U$를 다음과 같이 선택하는 것과 동등합니다.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

이전 단원에서 우리는 블록 $A_0,\ldots,A_{m-1}$로 형성된 열들이 조건 $(1)$에 의해 반드시 직교한다는 것을 관찰했습니다.

일반화

우리가 논의한 방법들보다 비파괴적 측정을 공식화하는 훨씬 더 일반적인 방법들이 있습니다. *양자 기기(quantum instrument)*의 개념(여기서는 설명하지 않겠습니다)은 이를 위한 한 가지 방법을 나타냅니다.