양자 채널 기초

수학적 관점에서, 채널은 밀도 행렬을 밀도 행렬로 변환하는 선형 사상으로, 특정 요건을 만족해야 합니다. 이 강의 전반에 걸쳐 채널을 지칭할 때는 $\Phi$와 $\Psi$를 포함한 대문자 그리스 문자와, 특정 경우에는 다른 문자들도 사용합니다.

모든 채널 $\Phi$에는 입력 시스템과 출력 시스템이 있으며, 일반적으로 입력 시스템은 $\mathsf{X}$, 출력 시스템은 $\mathsf{Y}$로 표기합니다. 채널의 출력 시스템이 입력 시스템과 동일한 경우도 흔하며, 이때는 같은 문자 $\mathsf{X}$로 두 시스템을 모두 나타낼 수 있습니다.

채널은 선형 사상입니다

채널은 고전 정보의 표준 정식화에서의 확률적 연산이나 양자 정보의 단순화된 정식화에서의 유니터리 연산과 마찬가지로, 선형 사상으로 기술됩니다.

채널 $\Phi$가 밀도 행렬 $\rho$로 기술되는 입력 시스템 $\mathsf{X}$에 적용되면, 채널의 출력 시스템은 밀도 행렬 $\Phi(\rho)$로 기술됩니다. $\Phi$의 출력 시스템도 $\mathsf{X}$인 경우, 채널이 $\mathsf{X}$의 상태를 $\rho$에서 $\Phi(\rho)$로 변화시키는 것으로 단순하게 볼 수 있습니다. $\Phi$의 출력 시스템이 $\mathsf{X}$가 아닌 다른 시스템 $\mathsf{Y}$인 경우, $\mathsf{Y}$는 채널을 적용하는 과정에서 새롭게 생성된 시스템이며, 채널이 적용되고 나면 입력 시스템 $\mathsf{X}$는 더 이상 사용할 수 없다고 이해해야 합니다. 마치 채널 자체가 $\mathsf{X}$를 $\mathsf{Y}$로 변환하여 $\Phi(\rho)$ 상태로 남겨두는 것처럼 말입니다.

채널이 선형 사상으로 기술된다는 가정은 공리로 볼 수 있습니다. 즉, 증명되는 것이 아니라 이론의 기본 전제입니다. 하지만 확률론 및 밀도 행렬에 관해 이미 배운 내용과 일관성을 유지하기 위해, 채널이 밀도 행렬 입력의 볼록 결합에 선형적으로 작용해야 한다는 필요성을 파악할 수 있습니다.

보다 구체적으로, 채널 $\Phi$가 있고, 이를 밀도 행렬 $\rho$와 $\sigma$로 표현되는 두 가지 상태 중 하나에 있는 시스템에 적용한다고 가정해 보겠습니다. $\rho$에 채널을 적용하면 밀도 행렬 $\Phi(\rho)$를, $\sigma$에 적용하면 밀도 행렬 $\Phi(\sigma)$를 얻습니다. 따라서 $\mathsf{X}$의 입력 상태를 확률 $p$로 $\rho$, 확률 $1-p$로 $\sigma$로 무작위 선택하면, 확률 $p$로 출력 상태 $\Phi(\rho)$를, 확률 $1-p$로 $\Phi(\sigma)$를 얻게 되며, 이는 밀도 행렬의 가중 평균 $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma)$로 표현됩니다.

반면, 채널의 입력 상태를 가중 평균 $p\rho + (1-p)\sigma$로 생각하면, 출력은 $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma)$가 됩니다. 어떻게 생각하든 동일한 상태이므로, 다음이 성립해야 합니다.

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

모든 밀도 행렬 $\rho$, $\sigma$와 스칼라 $p\in [0,1]$의 선택에 대해 이 조건을 만족하는 사상이 있을 때, 그 사상을 모든 행렬 입력(즉, 밀도 행렬 입력뿐만 아니라)에 대해 선형이 되도록 확장하는 유일한 방법이 항상 존재합니다.

채널은 밀도 행렬을 밀도 행렬로 변환합니다

당연히, 선형 사상일 뿐만 아니라 채널은 밀도 행렬을 밀도 행렬로 변환해야 합니다. 채널 $\Phi$가 밀도 행렬 $\rho$로 표현되는 상태의 입력 시스템에 적용되면, $\Phi(\rho)$로 상태가 기술되는 시스템을 얻으며, 이를 상태로 해석하려면 $\Phi(\rho)$가 유효한 밀도 행렬이어야 합니다.

그러나 더 일반적인 상황, 즉 채널 $\Phi$가 시스템 $\mathsf{X}$를 시스템 $\mathsf{Y}$로 변환할 때 아무것도 일어나지 않는 추가 시스템 $\mathsf{Z}$가 존재하는 경우를 고려하는 것이 매우 중요합니다. 즉, 시스템 쌍 $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$가 어떤 밀도 행렬로 기술되는 상태에서 출발하여 $\mathsf{X}$에만 $\Phi$를 적용해 $\mathsf{Y}$로 변환하면, 시스템 쌍 $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$의 상태를 기술하는 밀도 행렬을 얻어야 합니다.

입력 시스템 $\mathsf{X}$와 출력 시스템 $\mathsf{Y}$를 가진 채널 $\Phi$가, $\mathsf{Z}$에는 아무것도 하지 않으면서 $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$의 상태를 $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$의 상태로 변환하는 방식을 수학적으로 기술할 수 있습니다. 간단히 하기 위해, $\mathsf{Z}$의 고전 상태 집합이 $\{0,\ldots,m-1\}$이라고 가정하겠습니다. 이렇게 하면 $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$의 상태를 나타내는 임의의 밀도 행렬 $\rho$를 다음과 같은 형태로 쓸 수 있습니다.

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

이 식의 우변에는 블록 행렬이 있는데, 이는 내부 괄호가 제거된 행렬의 행렬로 생각할 수 있습니다. 그 결과 중간 식에서와 같이 Dirac 표기법으로도 표현할 수 있는 일반 행렬이 됩니다. 각 행렬 $\rho_{a,b}$의 행과 열은 $\mathsf{X}$의 고전 상태에 대응하며, 이 행렬들은 간단한 공식으로 결정됩니다.

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

이것들은 일반적으로 밀도 행렬이 아닙니다. $\rho$를 형성하기 위해 함께 배열될 때에만 밀도 행렬을 얻는다는 점에 유의하세요.

다음 식은 $\mathsf{X}$에 $\Phi$를 적용할 때 얻어지는 $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$의 상태를 기술합니다.

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

주어진 $\Phi$와 $\rho$에 대해 이 식을 평가하려면, 각 $\rho_{a,b}$가 일반적으로 그 자체로 밀도 행렬이 아니기 때문에, $\Phi$가 비밀도 행렬 입력에 대한 선형 사상으로 어떻게 작동하는지 이해해야 합니다. 이 식은 $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho)$와 일치하며, 여기서 $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$는 시스템 $\mathsf{Z}$에 대한 항등 채널을 나타냅니다. 이는 텐서곱의 개념을 행렬에서 행렬로의 선형 사상으로 확장한 것을 전제로 하는데, 이는 직관적이지만 이 강의에서는 반드시 필요한 내용이 아니므로 더 이상 설명하지 않겠습니다.

앞서 언급한 바를 다시 강조하자면, 선형 사상 $\Phi$가 유효한 채널이 되려면, 모든 $\mathsf{Z}$ 선택과 쌍 $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$의 모든 밀도 행렬 $\rho$에 대해, $\mathsf{X}$에 $\Phi$를 적용할 때 항상 밀도 행렬을 얻어야 합니다. 수학적 관점에서, 사상이 채널이 되기 위해 가져야 하는 성질은 대각합 보존성(trace-preserving)과 완전 양의성(completely positive)입니다. 전자는 채널을 적용해 얻은 행렬의 대각합이 1이 되어야 함을, 후자는 결과 행렬이 양의 준정부호여야 함을 의미합니다. 이 두 성질은 모두 중요하며 별도로 고려하고 연구할 수 있지만, 이 강의의 목적상 이 성질들을 따로 고려하는 것은 필수적이지 않습니다.

실제로, 밀도 행렬을 입력으로 받을 때 항상 밀도 행렬을 출력하지만, 복합 시스템에 대해서는 밀도 행렬을 밀도 행렬로 매핑하지 못하는 선형 사상이 존재합니다. 따라서 이러한 방식으로 일부 선형 사상을 채널 클래스에서 제외하게 됩니다. (행렬 전치로 주어진 선형 사상이 가장 간단한 예입니다.)

$\mathsf{X}$와 $\mathsf{Z}$의 순서가 바뀌어, $\Phi$가 오른쪽이 아닌 왼쪽 시스템에 적용되는 경우에도 위와 유사한 공식이 있습니다.

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

이는 $\rho$가 $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$가 아닌 $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$의 상태라고 가정합니다. 이 경우 행렬 $\rho_{a,b}$가 $\rho$의 연속된 행과 열에 위치하지 않기 때문에 블록 행렬 기술은 작동하지 않지만, 동일한 기본 수학 구조를 갖습니다.

복합 시스템의 일부에만 적용될 때도 항상 밀도 행렬을 밀도 행렬로 변환하는 요건을 만족하는 선형 사상은 유효한 채널을 나타냅니다. 따라서 추상적 의미에서 채널의 개념은 밀도 행렬의 개념과 채널이 선형으로 작용한다는 가정에 의해 결정됩니다. 이런 점에서 채널은 양자 정보의 단순화된 정식화에서의 유니터리 연산, 즉 주어진 시스템에 대해 항상 양자 상태 벡터를 양자 상태 벡터로 변환하는 선형 사상과 유사합니다. 또한 고전 정보의 표준 정식화에서의 확률적 연산(확률적 행렬로 표현됨), 즉 항상 확률 벡터를 확률 벡터로 변환하는 선형 사상과도 유사합니다.

채널로서의 유니터리 연산

$\mathsf{X}$가 시스템이고 $U$가 $\mathsf{X}$에 대한 연산을 나타내는 유니터리 행렬이라고 가정합니다. 이 연산을 밀도 행렬에 대해 기술하는 채널 $\Phi$는 $\mathsf{X}$의 양자 상태를 나타내는 모든 밀도 행렬 $\rho$에 대해 다음과 같이 정의됩니다.

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

왼쪽에 $U$를, 오른쪽에 $U^{\dagger}$를 곱하는 이 작용을 행렬 $U$에 의한 켤레 변환(conjugation)이라고 합니다.

이 기술은 주어진 양자 상태 벡터 $\vert\psi\rangle$를 나타내는 밀도 행렬이 $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$라는 사실과 일치합니다. 특히, $\vert\psi\rangle$에 유니터리 연산 $U$가 적용되면 출력 상태는 벡터 $U\vert\psi\rangle$로 표현되므로, 이 상태를 기술하는 밀도 행렬은 다음과 같습니다.

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

채널로서 연산 $U$가 순수 상태에 대해 $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$와 같이 작용한다는 것을 알면, 선형성에 의해 임의의 밀도 행렬 $\rho$에 대해 위의 식 $(1)$과 같이 작동해야 한다는 것을 결론지을 수 있습니다.

$U = \mathbb{I}$로 취할 때 얻는 특정 채널은 항등 채널 $\;\operatorname{Id}$이며, 어떤 시스템에 작용하는지 명시하고 싶을 때는 아래 첨자(예: 이미 접한 $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$)를 붙일 수도 있습니다. 출력은 항상 입력과 같습니다: $\operatorname{Id}(\rho) = \rho.$ 흥미롭지 않은 채널처럼 보일 수 있지만, 사실 매우 중요한 채널입니다. 이것이 첫 번째 예시라는 점도 적절합니다. 항등 채널은 일부 맥락에서 완벽한 채널로, 이상적인 메모리나 송신자에서 수신자로의 완벽하고 잡음 없는 정보 전달을 나타냅니다.

유니터리 연산으로 이 방식으로 정의된 모든 채널은 실제로 유효한 채널입니다. 행렬 $U$에 의한 켤레 변환은 선형 사상을 제공하며, $\rho$가 시스템 $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$의 밀도 행렬이고 $U$가 유니터리이면, 다음과 같이 표현할 수 있는 결과,

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

또한 밀도 행렬입니다. 구체적으로, 이 행렬은 양의 준정부호여야 하는데, $\rho = M^{\dagger} M$이면

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

이고 $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})$이며, 대각합의 순환 성질에 의해 단위 대각합을 가져야 합니다.

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

채널의 볼록 결합

입력 시스템과 출력 시스템이 동일한 두 채널 $\Phi_0$과 $\Phi_1$이 있다고 가정합니다. 임의의 실수 $p\in[0,1]$에 대해, 확률 $p$로 $\Phi_0$을 적용하고 확률 $1-p$로 $\Phi_1$을 적용하기로 결정할 수 있으며, 이렇게 하면 $p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1$으로 표현되는 새로운 채널이 만들어집니다. 이 채널이 주어진 밀도 행렬에 작용하는 방식은 다음의 간단한 방정식으로 명시됩니다.

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

더 일반적으로, 채널 $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$과 확률 벡터 $(p_0,\ldots, p_{m-1})$이 있을 때, 이 채널들을 평균 내어 새로운 채널을 얻을 수 있습니다.

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

이것이 채널의 볼록 결합이며, 이 과정을 통해 항상 유효한 채널을 얻을 수 있습니다. 수학적으로 간단히 표현하면, 주어진 입력 및 출력 시스템에 대해 모든 채널의 집합은 볼록 집합입니다.

예를 들어, 특정 시스템에 유니터리 연산 모음 중 하나를 적용하도록 선택할 수 있습니다. 이렇게 하면 혼합 유니터리 채널이라고 알려진 것을 얻을 수 있으며, 이는 다음 형태로 표현될 수 있는 채널입니다.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

모든 유니터리 연산이 파울리 행렬(또는 파울리 행렬의 텐서 곱)인 혼합 유니터리 채널을 파울리 채널이라고 하며, 양자 컴퓨팅에서 흔히 접할 수 있습니다.

큐비트 채널의 예시

이제 유니터리가 아닌 채널의 구체적인 예시를 몇 가지 살펴보겠습니다. 이 모든 예시에서 입력 및 출력 시스템은 모두 단일 Qubit, 즉 큐비트 채널의 예시입니다.

큐비트 리셋 채널

이 채널은 매우 간단한 작업을 수행합니다: Qubit를 $\vert 0\rangle$ 상태로 리셋합니다. 선형 사상으로서 이 채널은 모든 큐비트 밀도 행렬 $\rho$에 대해 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

모든 밀도 행렬 $\rho$의 트레이스는 $1$이지만, 이 방식으로 채널을 표현하면 밀도 행렬 입력뿐만 아니라 임의의 $2\times 2$ 행렬에도 적용될 수 있는 선형 사상임을 명확히 할 수 있습니다. 앞서 살펴본 바와 같이, 채널이 복합 시스템의 한 부분에만 적용될 때 어떤 일이 일어나는지 설명하려면 채널이 밀도 행렬이 아닌 입력에도 선형 사상으로서 어떻게 작동하는지 이해해야 합니다.

예를 들어, $\mathsf{A}$와 $\mathsf{B}$가 Qubit이고 쌍 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$가 벨 상태 $\vert \phi^+\rangle$에 있다고 가정합니다. 밀도 행렬로서 이 상태는 다음과 같이 주어집니다.

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

디랙 표기법을 사용하면 이 상태를 다음과 같이 대안적으로 표현할 수 있습니다.

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

큐비트 리셋 채널을 $\mathsf{A}$에 적용하고 $\mathsf{B}$에는 아무것도 하지 않으면 다음 상태를 얻습니다.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

$\mathsf{A}$를 리셋한 것이 $\mathsf{B}$에 영향을 미쳐 완전히 혼합된 상태가 되었다고 말하고 싶을 수도 있습니다. 하지만 어떤 의미에서는 실제로 그 반대입니다. $\mathsf{A}$가 리셋되기 전에도 $\mathsf{B}$의 축소 상태는 이미 완전히 혼합된 상태였으며, $\mathsf{A}$를 리셋한다고 해서 그것이 바뀌지는 않습니다.

완전 위상 소거 채널

$2\times 2$ 행렬에 대한 작용으로 설명되는 큐비트 채널 $\Delta$의 예시가 있습니다.

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

말로 표현하면, $\Delta$는 $2\times 2$ 행렬의 비대각 원소를 0으로 만듭니다. 이 예시는 Qubit에 국한되지 않고 임의의 시스템으로 일반화될 수 있습니다. 입력되는 밀도 행렬이 무엇이든, 채널은 모든 비대각 원소를 0으로 만들고 대각선은 그대로 둡니다.

이 채널은 완전 위상 소거 채널이라고 불리며, 결어긋남으로 알려진 과정의 극단적인 형태를 나타내는 것으로 생각할 수 있습니다. 결어긋남은 본질적으로 양자 중첩을 파괴하고 그것을 고전적 확률 상태로 바꿉니다.

이 채널에 대해 생각하는 또 다른 방법은, 입력 Qubit가 측정된 후 버려지고 출력이 측정 결과를 설명하는 밀도 행렬인 Qubit에 대한 표준 기저 측정을 설명한다는 것입니다. 대안적으로, 그러나 동등하게, 측정 결과가 버려지고 Qubit가 측정 후 상태에 남아 있다고 상상할 수 있습니다.

e-비트를 다시 고려하여 $\Delta$가 두 Qubit 중 하나에만 적용될 때 어떤 일이 발생하는지 살펴봅시다. 구체적으로, $(\mathsf{A},\mathsf{B})$가 상태 $\vert\phi^+\rangle$에 있는 Qubit $\mathsf{A}$와 $\mathsf{B}$가 있으며, 이번에는 두 번째 Qubit에 채널을 적용해 보겠습니다. 얻는 상태는 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

또는 블록 행렬을 사용하여 이 방정식을 표현할 수도 있습니다.

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

완전히 위상 소거하는 것과 달리 Qubit를 약간만 위상 소거하는 큐비트 채널도 고려할 수 있으며, 이는 완전 위상 소거 채널이 나타내는 것보다 덜 극단적인 결어긋남의 형태입니다. 특히, $\varepsilon \in (0,1)$이 작지만 0이 아닌 실수라고 가정합니다. 다음과 같은 채널을 정의할 수 있습니다.

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

이 채널은 주어진 큐비트 밀도 행렬 $\rho$를 다음과 같이 변환합니다.

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

즉, 확률 $1-\varepsilon$로는 아무 일도 일어나지 않고, 확률 $\varepsilon$로는 Qubit의 위상이 소거됩니다. 행렬 관점에서 이 작용은 다음과 같이 표현될 수 있으며, 대각 원소는 그대로 유지되고 비대각 원소는 $1-\varepsilon$만큼 곱해집니다.

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

완전 편극 소거 채널

큐비트 채널 $\Omega$의 또 다른 예시가 있습니다.

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

여기서 $\mathbb{I}$는 $2\times 2$ 항등 행렬을 나타냅니다. 말로 표현하면, 임의의 밀도 행렬 입력 $\rho$에 대해 채널 $\Omega$는 완전히 혼합된 상태를 출력합니다. 이보다 더 잡음이 많을 수는 없습니다! 이 채널은 완전 편극 소거 채널이라고 불리며, 완전 위상 소거 채널처럼 Qubit 대신 임의의 시스템으로 일반화될 수 있습니다.

또한 편극 소거가 확률 $\varepsilon$로 발생하는 이 채널의 덜 극단적인 변형도 고려할 수 있으며, 위상 소거 채널에서 살펴본 것과 유사합니다.

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$