채널 표현

이제 채널의 수학적 표현에 대해 살펴보겠습니다.

벡터에서 벡터로의 선형 사상은 친숙한 방식으로 행렬로 표현할 수 있으며, 선형 사상의 작용은 행렬-벡터 곱으로 나타납니다. 그런데 채널은 행렬에서 행렬로의 선형 사상이지, 벡터에서 벡터로의 사상이 아닙니다. 그렇다면 일반적으로 채널을 어떻게 수학적으로 표현할 수 있을까요?

일부 채널은 앞서 설명한 비유니터리 큐비트 채널 세 가지 예시처럼 간단한 공식으로 나타낼 수 있습니다. 하지만 임의의 채널은 그런 깔끔한 공식이 없을 수 있으므로, 일반적으로 이 방식으로 채널을 표현하는 것은 실용적이지 않습니다.

비교 관점에서 보면, 양자 정보의 단순화된 공식화에서는 양자 상태 벡터에 대한 연산을 나타내기 위해 유니터리 행렬을 사용합니다. 모든 유니터리 행렬은 유효한 연산을 나타내고, 모든 유효한 연산은 유니터리 행렬로 표현할 수 있습니다. 본질적으로 이 질문은 채널에 대해 유사한 것을 어떻게 할 수 있는가 하는 것입니다.

이 질문에 답하기 위해서는 몇 가지 추가적인 수학적 도구가 필요합니다. 실제로 채널은 몇 가지 서로 다른 방식으로 수학적으로 기술될 수 있으며, 그 발전에 핵심적인 역할을 한 세 사람의 이름을 딴 표현들이 있습니다. Stinespring, Kraus, 그리고 Choi. 이러한 채널을 기술하는 여러 방식은 채널을 다양한 각도에서 바라보고 분석할 수 있게 해줍니다.

Stinespring 표현

Stinespring 표현은 모든 채널이 표준적인 방식으로 구현될 수 있다는 아이디어에 기반합니다. 입력 시스템을 초기화된 작업 공간 시스템과 먼저 결합하여 복합 시스템을 형성하고, 그 복합 시스템에 유니터리 연산을 수행한 후, 마지막으로 작업 공간 시스템을 버려서(또는 부분 대각합을 취해 제거하여) 채널의 출력이 남게 됩니다.

다음 그림은 이러한 구현을 회로 다이어그램 형태로 나타낸 것으로, 입력 시스템과 출력 시스템이 동일한 시스템 $\mathsf{X}$인 채널에 대한 것입니다.

이 다이어그램에서 와이어는 와이어 위의 레이블이 나타내듯 임의의 시스템을 뜻하며, 반드시 단일 큐비트인 것은 아닙니다. 또한 전기공학에서 흔히 사용되는 접지 기호는 $\mathsf{W}$가 버려짐을 명시적으로 나타냅니다.

말로 설명하면, 이 구현은 다음과 같이 작동합니다. 입력 시스템 $\mathsf{X}$는 어떤 상태 $\rho$에서 시작하고, 작업 공간 시스템 $\mathsf{W}$는 표준 기저 상태 $\vert 0\rangle$으로 초기화됩니다. 유니터리 연산 $U$가 쌍 $(\mathsf{W},\mathsf{X})$에 수행되고, 마지막으로 작업 공간 시스템 $\mathsf{W}$에 부분 대각합이 취해져 출력으로 $\mathsf{X}$가 남습니다.

$0$이 $\mathsf{W}$의 고전 상태라고 가정하며, 이를 이 시스템의 초기화 상태로 선택하면 수학적 계산이 단순해집니다. 단, $\mathsf{W}$의 초기화 상태를 임의의 고정된 순수 상태로 선택해도 표현의 기본 성질은 변하지 않습니다.

결과 채널 $\Phi$의 수식 표현은 다음과 같습니다.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

평소와 같이 Qiskit의 순서 규약을 사용합니다. 시스템 $\mathsf{X}$는 다이어그램의 위쪽에 있으므로 수식에서 오른쪽 텐서 인수에 해당합니다.

일반적으로 채널의 입력 시스템과 출력 시스템은 동일하지 않아도 됩니다. 다음 그림은 입력 시스템이 $\mathsf{X}$이고 출력 시스템이 $\mathsf{Y}$인 채널 $\Phi$의 구현을 나타냅니다.

이번에는 유니터리 연산이 $(\mathsf{W},\mathsf{X})$를 쌍 $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$로 변환하는데, 여기서 $\mathsf{G}$는 버려지는 새로운 "쓰레기" 시스템이고 $\mathsf{Y}$가 출력 시스템으로 남습니다. $U$가 유니터리이려면 정사각 행렬이어야 합니다. 이를 위해 쌍 $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$는 쌍 $(\mathsf{W},\mathsf{X})$와 동일한 수의 고전 상태를 가져야 하므로, $\mathsf{W}$와 $\mathsf{G}$는 이를 허용하는 방식으로 선택되어야 합니다.

결과 채널 $\Phi$의 수식 표현은 앞서와 비슷하게 얻어집니다.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

채널이 이런 방식으로 기술될 때, 즉 유니터리 연산과 함께 작업 공간 시스템의 초기화 방법 및 출력 시스템 선택 방법이 명시될 때, 이를 Stinespring 형식으로 표현되었다고 하거나 채널의 Stinespring 표현이라고 합니다.

전혀 명확하지 않지만, 모든 채널에는 실제로 Stinespring 표현이 존재합니다. 이는 수업 마지막에 확인할 수 있습니다. 또한 Stinespring 표현이 유일하지 않음도 알게 될 것입니다. 동일한 채널을 기술된 방식으로 구현하는 다양한 방법이 항상 존재합니다.

참고

양자 정보의 맥락에서 Stinespring 표현이라는 용어는 일반적으로 다음 형식을 갖는 채널의 약간 더 일반적인 표현을 의미합니다.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( A \rho A^{\dagger} \bigr)$$

여기서 $A$는 *등거리 사상(isometry)*으로, 열들이 정규직교이지만 정사각 행렬이 아닐 수 있는 행렬입니다. 우리가 정의로 채택한 형식의 Stinespring 표현에 대해서는 다음을 취함으로써 다른 형식의 표현을 얻을 수 있습니다.

$$A = U (\vert 0\rangle_{\mathsf{W}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}).$$

완전 위상 소거 채널

다음은 큐비트 위상 소거 채널 $\Delta$의 Stinespring 표현입니다. 이 다이어그램에서 두 와이어는 모두 단일 큐비트를 나타내므로, 이는 일반적인 양자 회로 다이어그램입니다.

이 회로가 입력 큐비트에 미치는 효과가 실제로 완전 위상 소거 채널로 기술된다는 것을 확인하기 위해, 이전 수업에서 설명한 부분 대각합의 명시적 행렬 표현을 사용하여 회로를 한 단계씩 살펴볼 수 있습니다. 위쪽 큐비트를 $\mathsf{X}$로 부르겠습니다. 이것이 채널의 입력이자 출력입니다. 그리고 $\mathsf{X}$가 어떤 임의의 상태 $\rho$에서 시작한다고 가정합니다.

첫 번째 단계는 작업 공간 큐비트 $\mathsf{W}$의 도입입니다. 제어-NOT 게이트가 수행되기 전, 쌍 $(\mathsf{W},\mathsf{X})$의 상태는 다음 밀도 행렬로 나타납니다.

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Qiskit의 순서 규약에 따라 위쪽 큐비트 $\mathsf{X}$는 오른쪽에, 아래쪽 큐비트 $\mathsf{W}$는 왼쪽에 있습니다. 여기서는 양자 상태 벡터 대신 밀도 행렬을 사용하지만, 이들은 양자 정보의 단순화된 공식화에서와 유사한 방식으로 텐서곱됩니다.

다음 단계는 $\mathsf{X}$를 제어, $\mathsf{W}$를 타깃으로 하는 제어-NOT 연산을 수행하는 것입니다. Qiskit 순서 규약을 여전히 염두에 두면, 이 게이트의 행렬 표현은 다음과 같습니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

이것은 유니터리 연산이며, 밀도 행렬에 적용하려면 유니터리 행렬로 켤레 변환을 합니다. 이 특정 행렬은 켤레 전치가 행렬을 변경하지 않으므로, 결과는 다음과 같습니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[3mm] = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

마지막으로 $\mathsf{W}$에 대한 부분 대각합이 수행됩니다. 이전 수업에서 설명한 $4\times 4$ 행렬에 대한 이 연산의 작용을 떠올리면, 다음과 같은 밀도 행렬 출력이 얻어집니다.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

부분 대각합은 먼저 Dirac 표기법으로 변환하여 계산할 수도 있습니다.

$$\begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \end{pmatrix} = \begin{array}{r} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 1\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 1\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 1\vert \end{array}$$

왼쪽의 큐비트에 부분 대각합을 취하면 앞서와 동일한 답이 얻어집니다.

$$\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert = \Delta(\rho)$$

이 회로를 직관적으로 이해하는 방법은, 제어-NOT 연산이 입력 큐비트의 고전 상태를 사실상 복사하고, 복사본이 버려지면 입력 큐비트가 두 가지 가능한 고전 상태 중 하나로 확률적으로 "붕괴"되는데, 이것이 완전 위상 소거와 동등하다는 것입니다.

완전 위상 소거 채널 (대안적 구현)

위에서 설명한 회로가 완전 위상 소거 채널을 구현하는 유일한 방법은 아닙니다. 다음은 다른 방법입니다.

이 구현이 올바르게 동작함을 보이는 간략한 분석은 다음과 같습니다. Hadamard 게이트가 수행된 후, 2-큐비트 상태를 밀도 행렬로 나타내면 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} \vert + \rangle\langle + \vert \otimes \rho & = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

제어-$\sigma_z$ 게이트는 켤레 변환(conjugation)으로 다음과 같이 작용합니다.

$$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\\[3mm] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

마지막으로 작업 공간 시스템 $\mathsf{W}$에 대한 부분 대각합(partial trace)을 수행합니다.

$$\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] \begin{aligned} & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[2mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

이 구현은 단순한 아이디어에 기반합니다. 위상 소거(dephasing)는 아무것도 하지 않는 것(즉, 항등 연산을 적용하는 것)과 $\sigma_z$ 게이트를 적용하는 것을 각각 확률 $1/2$로 수행하는 것과 동등합니다.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[2mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

즉, 완전 위상 소거 채널은 혼합 유니터리 채널(mixed-unitary channel)의 한 예이며, 더 구체적으로는 파울리 채널(Pauli channel)입니다.

큐비트 리셋 채널

큐비트 리셋 채널은 다음과 같이 구현할 수 있습니다.

스왑 게이트는 작업 공간 큐비트의 $\vert 0\rangle$ 초기화 상태를 출력으로 이동시키는 동시에, 입력 상태 $\rho$는 아래쪽 큐비트로 옮겨진 뒤 부분 대각합으로 제거됩니다.

한편, 채널의 출력이 반드시 위쪽에 남아야 한다는 조건을 두지 않는다면, 다음과 같이 매우 단순한 회로를 표현으로 사용할 수 있습니다.

직관적으로 말하자면, 큐비트를 $\vert 0\rangle$ 상태로 리셋하는 것은 해당 큐비트를 버리고 새 큐비트를 얻는 것과 동등합니다.

Kraus 표현

이제 Kraus 표현을 살펴보겠습니다. Kraus 표현은 행렬 곱셈과 덧셈을 통해 채널의 작용을 수식 형태로 간편하게 나타내는 방법입니다. 구체적으로, Kraus 표현이란 채널 $\Phi$를 다음과 같은 형태로 나타내는 것을 말합니다.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

여기서 $A_0,\ldots,A_{N-1}$은 모두 동일한 차원을 가지는 행렬들입니다. 이 행렬들의 열은 입력 시스템 $\mathsf{X}$의 고전적 상태에 대응하고, 행은 출력 시스템($\mathsf{X}$이거나 다른 시스템 $\mathsf{Y}$)의 고전적 상태에 대응합니다. $\Phi$가 유효한 채널이 되려면 이 행렬들이 다음 조건을 만족해야 합니다.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

이 조건은 $\Phi$가 대각합(trace)을 보존한다는 조건과 동치입니다. 채널에 요구되는 또 다른 성질인 완전 양성(complete positivity)은 $\Phi$의 표현식이 켤레(conjugation)의 합이라는 일반적인 형태로부터 자동으로 따라옵니다.

때로는 행렬 $A_0,\ldots,A_{N-1}$에 다른 이름을 붙이는 것이 편리할 수 있습니다. 예를 들어 1부터 번호를 매기거나, 숫자 대신 임의의 고전적 상태 집합 $\Gamma$의 원소를 아래 첨자로 사용할 수도 있습니다.

$$\Phi(\rho) = \sum_{a\in\Gamma} A_a \rho A_a^{\dagger} \quad \text{where} \quad \sum_{a\in\Gamma} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}.$$

Kraus 행렬이라 불리는 이 행렬들에 이름을 붙이는 방식은 상황에 따라 다양하게 쓰일 수 있습니다. 이 강의에서는 간결함을 위해 $A_0,\ldots,A_{N-1}$이라는 표기를 사용하겠습니다.

$N$은 임의의 양의 정수가 될 수 있지만, 지나치게 클 필요는 없습니다. 입력 시스템 $\mathsf{X}$의 고전적 상태가 $n$개이고 출력 시스템 $\mathsf{Y}$의 고전적 상태가 $m$개라면, $\mathsf{X}$에서 $\mathsf{Y}$로의 임의의 채널은 항상 $N$이 $nm$을 넘지 않는 Kraus 표현을 가집니다.

완전 위상 소거 채널

완전 위상 소거 채널의 Kraus 표현은 $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$, $A_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert$로 선택하면 얻을 수 있습니다.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 1\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 1 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1 \vert \\[2mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

이 행렬들은 필요한 조건을 만족합니다.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert 1\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

또 다른 방법으로 $A_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{I}$, $A_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_z$로 선택하면

$$\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} = \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z = \Delta(\rho),$$

임을 앞서 계산한 결과로부터 확인할 수 있습니다. 이 경우 필요한 조건은 다음과 같이 검증됩니다.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \sigma_z^2 = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \mathbb{I} = \mathbb{I}$$

큐비트 리셋 채널

큐비트 리셋 채널의 Kraus 표현은 $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$, $A_1 = \vert 0\rangle\langle 1\vert$로 선택하면 얻을 수 있습니다.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 0\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 0 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert\\[2mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle \langle 0 \vert \end{aligned}$$

이 행렬들은 필요한 조건을 만족합니다.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

완전 탈분극 채널

완전 탈분극 채널의 Kraus 표현을 얻는 한 가지 방법은 Kraus 행렬 $A_0,\ldots,A_3$을 다음과 같이 선택하는 것입니다.

$$A_0 = \frac{\vert 0\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_1 = \frac{\vert 0\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}} \quad A_2 = \frac{\vert 1\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_3 = \frac{\vert 1\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}}$$

임의의 큐비트 밀도 행렬 $\rho$에 대해 다음이 성립합니다.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{1}{2} \bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 0\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 1\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}\\[1mm] & = \Omega(\rho). \end{aligned}$$

또 다른 Kraus 표현은 다음과 같은 Kraus 행렬을 선택함으로써 얻을 수 있습니다.

$$A_0 = \frac{\mathbb{I}}{2} \quad A_1 = \frac{\sigma_x}{2} \quad A_2 = \frac{\sigma_y}{2} \quad A_3 = \frac{\sigma_z}{2}$$

이 Kraus 행렬들이 실제로 완전 탈분극 채널을 나타내는지 검증하기 위해, 먼저 임의의 $2\times 2$ 행렬에 Pauli 행렬로 켤레 변환을 적용하면 어떻게 되는지 살펴봅시다.

$$\begin{aligned} \sigma_x \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_x & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,0}\\[1mm] \alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_y \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_y & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & -\alpha_{1,0}\\[1mm] -\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_z \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_z & = \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & -\alpha_{0,1}\\[1mm] -\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

이를 이용하면 우리의 Kraus 표현이 올바른지 다음과 같이 검증할 수 있습니다.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{\rho + \sigma_x \rho \sigma_x + \sigma_y \rho \sigma_y + \sigma_z \rho \sigma_z}{4} \\ & = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle \\[2mm] \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle \end{pmatrix} \\[4mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2} \end{aligned}$$

이 Kraus 표현은 중요한 아이디어를 담고 있습니다. 즉, 큐비트의 상태는 네 개의 Pauli 행렬(항등 행렬 포함) 중 하나를 균등한 확률로 무작위로 적용함으로써 완전히 무작위화될 수 있다는 것입니다. 따라서 완전 탈분극 채널은 Pauli 채널의 또 다른 예입니다.

완전 탈분극 채널 $\Omega$에 대해 세 개 이하의 Kraus 행렬로 이루어진 Kraus 표현을 찾는 것은 불가능합니다. 이 채널에는 최소한 네 개의 Kraus 행렬이 필요합니다.

유니터리 채널

시스템 $\mathsf{X}$에 대한 연산을 나타내는 유니터리 행렬 $U$가 있을 때, 이 유니터리 연산의 작용을 채널로 표현하면 다음과 같습니다.

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger}.$$

이 식은 이미 유효한 Kraus 표현으로, Kraus 행렬이 $A_0 = U$ 하나뿐인 경우입니다. 이 경우 필요한 조건

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

은 훨씬 단순한 형태인 $U^{\dagger} U = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$로 줄어들며, 이는 $U$가 유니터리 행렬이므로 당연히 성립합니다.

Choi 표현

이제 채널을 기술하는 세 번째 방법인 Choi 표현을 살펴보겠습니다. Choi 표현에서는 각 채널을 Choi 행렬이라는 단일 행렬로 나타냅니다. 입력 시스템의 고전적 상태 수가 $n$이고 출력 시스템의 고전적 상태 수가 $m$이라면, 채널의 Choi 행렬은 $nm$개의 행과 $nm$개의 열을 갖습니다.

Choi 행렬은 채널의 충실한(faithful) 표현을 제공합니다. 즉, 두 채널이 같은 Choi 행렬을 가질 때, 그리고 그때에만 두 채널은 동일합니다. 이것이 중요한 이유 중 하나는, 서로 다른 두 기술이 같은 채널을 나타내는지 다른 채널을 나타내는지 판별하는 방법을 제공하기 때문입니다. Choi 행렬을 계산하여 비교하기만 하면 됩니다. 반면, 앞서 살펴보았듯이 Stinespring 표현과 Kraus 표현은 이런 의미에서 유일하지 않습니다.

Choi 행렬은 채널의 다양한 수학적 성질을 밝히는 데에도 유용합니다.

정의

$\Phi$를 시스템 $\mathsf{X}$에서 시스템 $\mathsf{Y}$로의 채널이라 하고, 입력 시스템 $\mathsf{X}$의 고전적 상태 집합을 $\Sigma$라 가정합니다. $J(\Phi)$로 표기하는 $\Phi$의 Choi 표현은 다음 식으로 정의됩니다.

$$J(\Phi) = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl( \vert a\rangle\langle b \vert\bigr)$$

어떤 양의 정수 $n$에 대해 $\Sigma = \{0,\ldots, n-1\}$라고 가정하면, $J(\Phi)$를 블록 행렬로도 표현할 수 있습니다.

$$J(\Phi) = \begin{pmatrix} \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \end{pmatrix}$$

즉, 블록 행렬로 나타낼 때 채널의 Choi 행렬은 입력 시스템의 고전적 상태 쌍 $(a,b)$ 각각에 대해 블록 $\Phi(\vert a\rangle\langle b\vert)$를 자연스러운 방식으로 배열한 형태입니다.

집합 $\{\vert a\rangle\langle b\vert \,:\, 0\leq a,b < n\}$이 모든 $n\times n$ 행렬 공간의 기저를 이룬다는 점에 주목하세요. $\Phi$가 선형이므로, Choi 행렬의 블록들의 선형 결합으로부터 $\Phi$의 작용을 복원할 수 있습니다.

채널의 Choi 상태

채널의 Choi 행렬을 $n = \vert\Sigma\vert$로 나누면 밀도 행렬이 된다는 것도 Choi 행렬을 이해하는 또 다른 방법입니다. 단순함을 위해 $\Sigma = \{0,\ldots,n-1\}$인 상황에 집중하고, 동일한 $\mathsf{X}$ 두 복사본이 함께 얽힌 상태에 있다고 상상해 보겠습니다.

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle.$$

이 상태를 밀도 행렬로 나타내면 다음과 같습니다.

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert$$

오른쪽의 $\mathsf{X}$ 복사본에 $\Phi$를 적용하면 $n$으로 나눈 Choi 행렬을 얻습니다.

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n}$$

즉, 정규화 인자 $1/n$을 제외하면, $\Phi$의 Choi 행렬은 다음 그림이 보여주듯이 최대로 얽힌 입력 시스템 쌍의 절반에 $\Phi$를 평가하여 얻는 밀도 행렬입니다.

특히 이는 채널의 Choi 행렬이 항상 양의 준정부호여야 함을 의미한다는 점에 주목하세요.

또한 채널 $\Phi$가 오른쪽/위쪽 시스템에만 적용되므로, 왼쪽/아래쪽 시스템의 축소 상태에 영향을 줄 수 없다는 것도 알 수 있습니다. 지금의 경우, 그 상태는 완전 혼합 상태 $\mathbb{I}_{\mathsf{X}}/n$이므로

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \biggl(\frac{J(\Phi)}{n}\biggr) = \frac{\mathbb{I}_{\mathsf{X}}}{n}.$$

양변에서 분모 $n$을 제거하면 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$를 얻습니다.

채널이 항상 대각합을 보존해야 한다는 사실을 이용하여 같은 결론을 대안적으로 이끌어낼 수도 있으며, 따라서

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

요약하면, 임의의 채널 $\Phi$에 대한 Choi 표현 $J(\Phi)$는 양의 준정부호여야 하며 다음을 만족해야 합니다

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

이 강의가 끝날 때 보게 되겠지만, 이 두 조건은 필요조건일 뿐만 아니라 충분조건이기도 하며, 이는 이러한 요구 사항을 만족하는 행렬에서 행렬로의 임의의 선형 매핑 $\Phi$가 실제로 채널이어야 함을 의미합니다.

완전 위상 소거 채널

완전 위상 소거 채널 $\Delta$의 Choi 표현은 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} J(\Delta) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Delta\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert a\rangle\langle a \vert \\[4mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

완전 탈분극 채널

완전 탈분극 채널의 Choi 표현은 다음과 같습니다

$$\begin{aligned} J(\Omega) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Omega\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \frac{1}{2} \mathbb{I} \\[4mm] & = \frac{1}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

큐비트 리셋 채널

큐비트 리셋 채널 $\Phi$의 Choi 표현은 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} J(\Lambda) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Lambda\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[4mm] & = \mathbb{I} \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[3mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

항등 채널

큐비트 항등 채널 $\operatorname{Id}$의 Choi 표현은 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} J(\operatorname{Id}) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \operatorname{Id}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a \rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle \langle b \vert \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

특히 $J(\operatorname{Id})$가 항등 행렬이 아님에 주목하세요. Choi 표현은 행렬이 선형 사상을 나타내는 일반적인 방식으로 채널의 작용을 직접 기술하지 않습니다.