표현들의 동치성

지금까지 채널을 수학적으로 표현하는 세 가지 방법, 즉 Stinespring 표현, Kraus 표현, Choi 표현에 대해 살펴보았습니다. 또한 채널의 정의도 확인했는데, 채널이란 복합 시스템의 일부에만 적용되는 경우에도 항상 밀도 행렬을 밀도 행렬로 변환하는 선형 사상이라는 것입니다. 이 단원의 나머지 부분은 세 가지 표현이 서로 동치이며 그 정의를 정확히 포착함을 수학적으로 증명하는 데 할애합니다.

증명 개요

우리의 목표는 네 가지 명제의 동치성을 확립하는 것이며, 먼저 각 명제를 정확하게 기술하는 것부터 시작하겠습니다. 네 가지 명제 모두 이 단원 전반에 걸쳐 사용된 동일한 관례를 따릅니다. 즉, $\Phi$는 정방 행렬에서 정방 행렬로의 선형 사상이고, 입력 행렬의 행과 열은 입력 시스템 $\mathsf{X}$의 고전 상태에 대응하며, 출력 행렬의 행과 열은 출력 시스템 $\mathsf{Y}$의 고전 상태에 대응합니다.

1. $\Phi$는 $\mathsf{X}$에서 $\mathsf{Y}$로의 채널입니다. 즉, $\Phi$는 더 큰 복합 시스템의 한 부분에 작용할 때에도 항상 밀도 행렬을 밀도 행렬로 변환합니다.

2. Choi 행렬 $J(\Phi)$은 양의 준정부호 행렬이며 조건 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$를 만족합니다.

3. $\Phi$에 대한 Kraus 표현이 존재합니다. 즉, 모든 입력 $\rho$에 대해 등식 $\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$를 만족하고 조건 $\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$를 충족하는 행렬 $A_0,\ldots,A_{N-1}$이 존재합니다.

4. $\Phi$에 대한 Stinespring 표현이 존재합니다. 즉, 시스템 $\mathsf{W}$와 $\mathsf{G}$가 존재하여 쌍 $(\mathsf{W},\mathsf{X})$와 $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$의 고전 상태 수가 같고$,(\mathsf{W},\mathsf{X})$에서 $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$로의 유니터리 연산을 나타내는 유니터리 행렬 $U$가 존재하여 $\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}}\bigl( U (\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$가 성립합니다.

이 증명의 방식은 함의의 순환을 증명하는 것입니다. 즉, 목록의 첫 번째 명제가 두 번째 명제를 함의하고, 두 번째가 세 번째를 함의하며, 세 번째가 네 번째를 함의하고, 네 번째 명제가 첫 번째를 함의합니다. 이를 통해 네 가지 명제가 모두 동치임이 확립됩니다. 즉, 주어진 $\Phi$에 대해 네 명제는 모두 참이거나 모두 거짓이 됩니다. 함의 관계를 임의의 한 명제에서 다른 어떤 명제로도 이행적으로 따라갈 수 있기 때문입니다.

이것은 명제들의 집합이 동치임을 증명할 때 흔히 사용하는 전략으로, 이런 맥락에서 유용한 요령은 함의를 최대한 증명하기 쉬운 방식으로 설정하는 것입니다. 여기서도 그것이 해당되며, 실제로 네 가지 함의 중 두 가지는 이미 살펴보았습니다.

채널에서 Choi 행렬로

위에 나열된 명제들을 번호로 참조하면, 증명해야 할 첫 번째 함의는 1 $\Rightarrow$ 2입니다. 이 함의는 채널의 Choi 상태 맥락에서 이미 논의되었습니다. 여기서는 수학적 세부 사항을 요약하겠습니다.

입력 시스템 $\mathsf{X}$의 고전 상태 집합이 $\Sigma$이고 $n = \vert\Sigma\vert$라고 가정합니다. 다음 상태에 함께 놓인 $\mathsf{X}$의 두 복사본 중 두 번째에 $\Phi$를 적용하는 상황을 생각해 봅시다

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a \in \Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle,$$

이 상태를 밀도 행렬로 쓰면 다음과 같습니다.

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b \in \Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert.$$

결과는 다음과 같이 쓸 수 있습니다

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n},$$

그리고 $\Phi$가 채널이라는 가정에 의해 이것은 밀도 행렬이어야 합니다. 모든 밀도 행렬과 마찬가지로 이는 양의 준정부호(positive semidefinite)이어야 하며, 양의 준정부호 행렬에 양의 실수를 곱하면 또 다른 양의 준정부호 행렬이 나오므로, $J(\Phi) \geq 0$입니다.

더욱이 $\Phi$가 채널이라는 가정 하에, 이는 대각합을 보존해야 하므로

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert\\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert\\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

Choi에서 Kraus 표현으로

두 번째 함의는, 앞서 목록에 제시된 명제 번호를 기준으로, 2 $\Rightarrow$ 3입니다. 명확히 하자면, 여기서는 다른 명제들을 무시합니다. 특히 $\Phi$가 채널이라는 가정은 할 수 없습니다. 우리가 사용할 수 있는 것은 오직 $\Phi$가 선형 사상이며, 그 Choi 표현이 $J(\Phi) \geq 0$ 및 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$를 만족한다는 사실뿐입니다.

그러나 이것만으로도 $\Phi$가 Kraus 표현

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

을 가지며, 조건

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

이 만족됨을 결론 내리기에 충분합니다.

$J(\Phi)$가 양의 준정부호(positive semidefinite)라는 핵심 가정에서 출발합니다. 이 가정에 의해

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \tag{1}$$

와 같이 어떤 벡터 $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$의 선택에 의해 표현할 수 있습니다. 일반적으로 이 표현 방법은 여러 가지가 있으며, 이는 $\Phi$의 Kraus 표현을 선택할 때 가지는 자유도와 직접적으로 대응됩니다.

이러한 표현을 얻는 한 가지 방법은 먼저 스펙트럼 정리를 사용하여

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \lambda_k \vert \gamma_k \rangle \langle \gamma_k \vert,$$

와 같이 쓰는 것입니다. 여기서 $\lambda_0,\ldots,\lambda_{N-1}$은 $J(\Phi)$의 고유값($J(\Phi)$가 양의 준정부호이므로 반드시 음이 아닌 실수입니다)이고$,\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{N-1}\rangle$은 각 고유값 $\lambda_0,\ldots,\lambda_{N-1}$에 대응하는 단위 고유벡터입니다.

고유값의 선택에는 (순서를 제외하면) 자유도가 없지만, 고유벡터의 선택에는, 특히 중복도가 1보다 큰 고유값이 있을 경우, 자유도가 있습니다. 따라서 이 표현은 유일하지 않으며, 우리는 단지 그러한 표현 하나를 가정하고 있습니다. 어쨌든 고유값은 음이 아닌 실수이므로 음이 아닌 제곱근이 존재하고, 각 $k = 0,\ldots,N-1$에 대해

$$\vert\psi_k\rangle = \sqrt{\lambda_k} \vert \gamma_k\rangle$$

로 선택하면 $(1)$ 형태의 표현을 얻을 수 있습니다.

하지만 $(1)$의 표현이 반드시 이런 방식의 스펙트럼 분해에서 비롯될 필요는 없으며, 특히 벡터 $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$이 일반적으로 서로 직교할 필요도 없습니다. 다만, 원한다면 이 벡터들을 직교하도록 선택할 수 있으며, 더욱이 $N$이 $nm$보다 클 필요도 없습니다 ($n$과 $m$은 각각 $\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$의 고전 상태 수를 나타냅니다).

다음으로, 각 벡터 $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$을 다음과 같이 분해할 수 있습니다.

$$\vert\psi_k\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a}\rangle,$$

여기서 벡터 $\{ \vert \phi_{k,a}\rangle \}$는 $\mathsf{Y}$의 고전 상태에 대응하는 성분을 가지며, 다음 식으로 명시적으로 결정됩니다.

$$\vert \phi_{k,a}\rangle = \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}\bigr) \vert \psi_k\rangle$$

($a\in\Sigma$, $k=0,\ldots,N-1$에 대해.) $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$이 반드시 단위 벡터일 필요는 없지만, 이는 쌍 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$의 양자 상태 벡터가 주어졌을 때 $\mathsf{X}$ 시스템에 표준 기저 측정을 수행할 경우 일어나는 일을 분석하는 과정과 동일합니다.

이제 증명의 이 부분이 작동하게 하는 핵심 트릭이 나옵니다. 우리는 Kraus 행렬 $A_0,\ldots,A_{N-1}$을 다음 식에 따라 정의합니다.

$$A_k = \sum_{a\in\Sigma} \vert \phi_{k,a}\rangle\langle a \vert$$

이 식은 순수하게 기호적으로 해석할 수 있습니다. $\vert a\rangle$이 뒤집혀 $\langle a\vert$가 되고 오른쪽으로 이동하여 행렬을 형성합니다. 증명을 검증하는 목적에서는 이 식만으로 충분합니다.

그런데 벡터 $\vert\psi_k\rangle$와 행렬 $A_k$ 사이에는 간단하고 직관적인 관계가 있습니다. 바로 $A_k$를 *벡터화(vectorizing)*하면 $\vert\psi_k\rangle$을 얻는다는 것입니다$.A_k$를 벡터화한다는 것은 열들을 (가장 왼쪽 열을 맨 위로, 가장 오른쪽 열을 맨 아래로) 차례로 쌓아 열벡터를 만드는 것을 의미합니다. 예를 들어$,\mathsf{X}$와 $\mathsf{Y}$가 모두 Qubit이고, 어떤 $k$에 대해

$$\begin{aligned} \vert\psi_k\rangle & = \alpha_{00} \vert 0\rangle \otimes \vert 0\rangle + \alpha_{01} \vert 0\rangle \otimes \vert 1\rangle + \alpha_{10} \vert 1\rangle \otimes \vert 0\rangle + \alpha_{11} \vert 1\rangle \otimes \vert 1\rangle\\[2mm] & = \begin{pmatrix} \alpha_{00} \\[1mm] \alpha_{01} \\[1mm] \alpha_{10} \\[1mm] \alpha_{11} \end{pmatrix}, \end{aligned}$$

이면

$$\begin{aligned} A_k & = \alpha_{00} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \alpha_{01} \vert 1\rangle\langle 0\vert + \alpha_{10} \vert 0\rangle\langle 1\vert + \alpha_{11} \vert 1\rangle\langle 1\vert\\[2mm] & = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{10}\\[1mm] \alpha_{01} & \alpha_{11} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

(주의: 행렬의 벡터화를 약간 다르게 정의하는 경우도 있습니다. 행렬의 행들을 전치하여 차례로 쌓아 열벡터를 만드는 방식입니다.)

먼저 이 Kraus 행렬 선택이 $\Phi$를 올바르게 기술하는지 확인하고, 이후 나머지 필요 조건을 검증하겠습니다. 구분을 명확히 하기 위해 새로운 사상 $\Psi$를 다음과 같이 정의합니다.

$$\Psi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

따라서 우리의 목표는 $\Psi = \Phi$임을 확인하는 것입니다.

이를 위해 두 사상의 Choi 표현을 비교합니다. Choi 표현은 충실(faithful)하므로$,J(\Phi) = J(\Psi)$이면 그리고 그때에만 $\Psi = \Phi$입니다. 이제 다음 표현식들을

$$\vert\psi_k\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a}\rangle \quad\text{and}\quad A_k = \sum_{a\in\Sigma} \vert \phi_{k,a}\rangle\langle a \vert$$

텐서곱의 쌍선형성(bilinearity)과 함께 이용하여 $J(\Psi)$를 직접 계산할 수 있습니다.

$$\begin{aligned} J(\Psi) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \vert a\rangle \langle b \vert A_k^{\dagger}\\[2mm] & = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \phi_{k,a} \rangle \langle \phi_{k,b} \vert \\[2mm] & = \sum_{k = 0}^{N-1} \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a} \rangle\biggr) \biggl(\sum_{b\in\Sigma} \langle b\vert \otimes \langle \phi_{k,b} \vert\biggr)\\[2mm] & = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \\[2mm] & = J(\Phi) \end{aligned}$$

따라서 이 Kraus 행렬들이 $\Phi$를 올바르게 기술함을 확인했습니다.

이제 $A_0,\ldots,A_{N-1}$에 대한 필요 조건을 확인해야 하는데, 이는 아직 사용하지 않은 가정 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$와 동치임이 밝혀집니다. 다음 관계식을 보이겠습니다.

$$\Biggl( \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \Biggr)^{T} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) \tag{2}$$

(여기서 왼쪽의 $T$는 *행렬 전치(matrix transpose)*를 나타냅니다.)

좌변에서 시작하여, 먼저 다음을 관찰합니다.

$$\begin{aligned} \Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k\Biggr)^T & = \Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \vert b \rangle \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \langle a \vert\Biggr)^T\\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \vert a \rangle \langle b \vert. \end{aligned}$$

마지막 등식은 전치가 선형이며 $\vert b\rangle\langle a \vert$를 $\vert a\rangle\langle b \vert$로 보낸다는 사실에서 따릅니다.

우변으로 넘어가면,

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k\rangle\langle\psi_k \vert = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \vert\phi_{k,a}\rangle\langle \phi_{k,b} \vert$$

이므로

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert\phi_{k,a}\rangle\langle \phi_{k,b} \vert \bigr)\, \vert a\rangle \langle b \vert\\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \vert a \rangle \langle b \vert. \end{aligned}$$

두 결과가 일치하므로 등식 $(2)$가 검증되었습니다. 가정 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$에 의해

$$\Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k\Biggr)^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

이 성립하고, 따라서 항등행렬은 자기 자신의 전치이므로 필요 조건이 만족됩니다.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

Kraus 표현에서 Stinespring 표현으로

이제 다음과 같은 Kraus 표현을 가진 사상(mapping)이 있다고 가정합니다.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

여기서

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

우리의 목표는 $\Phi$에 대한 Stinespring 표현을 구하는 것입니다.

먼저 가비지 시스템 $\mathsf{G}$의 고전적 상태 집합을 $\{0,\ldots,N-1\}$로 선택하고자 합니다. 그런데 $(\mathsf{W},\mathsf{X})$와 $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$의 크기가 같으려면 $n$이 $m N$을 나누어야 하며, 이때 $\mathsf{W}$의 고전적 상태를 $\{0,\ldots,d-1\}$ ($d = mN/n$)로 잡을 수 있습니다.

임의의 $n$, $m$, $N$ 선택에서 $mN/n$이 정수가 아닐 수도 있으므로, $\mathsf{G}$의 고전적 상태 집합을 $\{0,\ldots,N-1\}$로 선택하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 그러나 원하는 만큼 $A_k = 0$으로 추가하는 방식으로 Kraus 표현에서 $N$을 얼마든지 늘릴 수 있습니다.

따라서 $mN/n$이 정수라고 암묵적으로 가정하면(이는 $N$이 $n/\operatorname{gcd}(n,m)$의 배수인 것과 동치입니다)$,\mathsf{G}$의 고전 상태 집합을 $\{0,\ldots,N-1\}$로 자유롭게 선택할 수 있습니다. 특히 $N = nm$인 경우$,\mathsf{W}$가 $m^2$개의 고전 상태를 가지도록 잡을 수 있습니다.

이제 $U$를 선택해야 하며, 다음 패턴에 맞춰 구성합니다.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{N-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

이 패턴은 블록 행렬을 나타내며, 각 블록($A_{0},\ldots,A_{N-1}$ 및 물음표로 표시된 블록 포함)은 $m$행 $n$열을 가집니다. 블록 행이 $N$개이므로 블록 열은 $d = mN/n$개입니다.

수식으로 표현하면, $U$를 다음과 같이 정의합니다.

$$\begin{aligned} U & = \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{j=0}^{d-1} \vert k \rangle \langle j \vert \otimes M_{k,j} \\[4mm] & = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} & \cdots & M_{0,d-1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} & \cdots & M_{1,d-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] M_{N-1,0} & M_{N-1,1} & \cdots & M_{N-1,d-1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

여기서 각 행렬 $M_{k,j}$는 $m$행 $n$열이며, 특히 $k = 0,\ldots,N-1$에 대해 $M_{k,0} = A_k$로 설정합니다.

이 행렬은 유니터리여야 하므로, 물음표로 표시된 블록, 즉 $j>0$인 $M_{k,j}$는 이를 고려하여 선택해야 합니다. 그러나 $U$가 유니터리가 될 수 있게 하는 것 외에, 물음표로 표시된 블록은 증명과 무관합니다.

잠시 $U$가 유니터리라는 우려는 접어두고 다음 식에 집중해 봅시다

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho)U^{\dagger}\bigr)$$

이는 우리의 Stinespring 표현에 대해 $\mathsf{X}$의 입력 상태 $\rho$가 주어졌을 때 $\mathsf{Y}$의 출력 상태를 설명합니다. 대안적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다

$$U(\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho)U^{\dagger} = U(\vert 0\rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho (\langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) U^{\dagger},$$

그리고 $U$의 선택으로부터

$$U(\vert 0\rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}}) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert k\rangle \otimes A_k.$$

임을 알 수 있습니다.

$$U(\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho)U^{\dagger} = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \vert k\rangle\langle j\vert \otimes A_k \rho A_j^{\dagger},$$

and so

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger}\bigr) & = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \operatorname{Tr}\bigl(\vert k\rangle\langle j\vert\bigr) \, A_k \rho A_j^{\dagger} \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger} \\ & = \Phi(\rho). \end{aligned}$$

따라서 사상 $\Phi$에 대한 올바른 표현을 갖게 되었으며, 이제 $U$를 유니터리로 선택할 수 있는지 확인하는 일이 남았습니다.

위 패턴에 따라 $U$가 선택될 때 $U$의 처음 $n$개 열을 고려해 봅시다. 이 열들만 취하면 블록 행렬을 얻습니다

$$\begin{pmatrix} A_0\\[1mm] A_1\\[1mm] \vdots\\[1mm] A_{N-1} \end{pmatrix}.$$

$\mathsf{X}$의 각 고전 상태마다 하나씩 총 $n$개의 열이 있으며, 벡터로서 이 열들을 각 $a\in\Sigma$에 대해 $\vert \gamma_a \rangle$라고 명명합시다. 다음은 위의 블록 행렬 표현과 일치시킬 수 있는 이 벡터들에 대한 공식입니다.

$$\vert \gamma_a\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert k\rangle \otimes A_k \vert a \rangle$$

이제 이 벡터들 중 임의의 두 개, 즉 $a,b\in\Sigma$의 임의의 선택에 해당하는 벡터들 사이의 내적을 계산해 봅시다.

$$\langle \gamma_a \vert \gamma_b \rangle = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \langle k \vert j \rangle \, \langle a \vert A_k^{\dagger} A_j \vert b\rangle = \langle a \vert \Biggl( \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \Biggr) \vert b\rangle$$

가정에 의해

$$\sum_{k = 0}^{m-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

$n$개의 열 벡터 $\{\vert\gamma_a\rangle\,:\,a\in\Sigma\}$가 정규직교 집합을 이룬다는 결론을 얻습니다:

$$\langle \gamma_a \vert \gamma_b \rangle = \begin{cases} 1 & a = b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

모든 $a,b\in\Sigma$에 대해.

이는 $U$의 나머지 열들을 채워서 유니터리 행렬로 만드는 것이 가능함을 의미합니다. 특히, Gram-Schmidt 직교화 과정을 사용하여 나머지 열들을 선택할 수 있습니다. 상태 판별 문제의 맥락에서 "양자 정보의 기초"의 양자 회로 강의에서 이와 비슷한 작업이 수행된 바 있습니다.

Stinespring 표현에서 다시 정의로

마지막 함의는 4 $\Rightarrow$ 1입니다. 즉, 시스템 쌍 $(\mathsf{W},\mathsf{X})$를 쌍 $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$로 변환하는 유니터리 연산이 있다고 가정하고, 사상

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho)U^{\dagger}\bigr)$$

이 유효한 채널임을 보이는 것이 목표입니다. 이 형태로부터 $\Phi$는 선형임이 자명하며, 밀도 행렬을 항상 밀도 행렬로 변환함을 검증해야 합니다. 이는 비교적 직관적이며, 핵심 사항들은 이미 논의한 바 있습니다.

특히, 복합 시스템 $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$의 밀도 행렬 $\sigma$에서 시작하여 추가 작업 공간 시스템 $\mathsf{W}$를 도입하면, 당연히 밀도 행렬이 그대로 유지됩니다. 시스템 $(\mathsf{W},\mathsf{Z},\mathsf{X})$를 편의상 재배열하면 이 상태를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\vert 0\rangle\langle 0\vert_{\mathsf{W}} \otimes \sigma.$$

그런 다음 유니터리 연산 $U$를 적용하는데, 이미 논의했듯이 이는 유효한 채널이며 밀도 행렬을 밀도 행렬로 사상합니다. 마지막으로, 밀도 행렬의 부분 대각합(partial trace)은 또 다른 밀도 행렬입니다.

다르게 표현하면, 다음 각각이 유효한 채널임을 먼저 관찰하는 것입니다.

1. 초기화된 작업 공간 시스템 도입.

2. 유니터리 연산 수행.

3. 부분 대각합을 취해 시스템 제거하기.

그리고 채널들의 합성은 또 다른 채널이 됩니다. 이는 정의로부터 즉각적으로 따르지만, 그 자체로 주목할 만한 사실이기도 합니다.

이로써 마지막 함의에 대한 증명이 완성되었으며, 절의 시작 부분에서 열거한 네 가지 명제의 동치성이 확립되었습니다.